1、一、已知下列递推式：C(n) = 1 若 n =1= 2C（n/2） + n 1 若 n 2请由定理 1 导出 C(n)的非递归表达式并指出其渐进复杂性。定理 1：设 a,c 为非负整数，b,d,x 为非负常数，并对于某个非负整数 k, 令n=ck, 则以下递推式f(n) =d 若 n=1=af(n/c)+bnx 若 n=2的解是f(n)= bnxlogcn + dnx 若 a=c xf(n)= 若 ac xxaxncbbdclog解：令 F(n) = C(n) 1则 F(n) = 0 n=1F(n) = 2C(n/2) + n 2 n=2= 2F(n/2) + 1 + n 2= 2F(n/2
2、) + n利用定理 1，其中：d=0,a=2,c=2,b=1,x=1,并且 a=cx所以 F(n) = nlog 2n所以 C(n) = F(n) + 1 = nlog 2n + 1C(n)的渐进复杂性是 O(nlog2n) 二、由于 Prim 算法和 Kruskal 算法设计思路的不同，导致了其对不同问题实例的效率对比关系的不同。请简要论述：1、如何将两种算法集成，以适应问题的不同实例输入；2、你如何评价这一集成的意义？答：1、Prim 算法基于顶点进行搜索，所以适合顶点少边多的情况。Kruskal 从边集合中进行搜索，所以适合边少的情况。根据输入的图中的顶点和边的情况，边少的选用 krus
3、kal 算法，顶点少的选用 prim 算法2、没有一个算法是万能的，没有一个算法是对所有情况都适合的。这一集成体现了针对具体问题选用最适合的方法，即具体问题具体分析的哲学思想。三、分析以下生成排列算法的正确性和时间效率：HeapPermute(n)/实现生成排列的 Heap 算法/输入：一个正正整数 n 和一个全局数组 A1.n/输出：A 中元素的全排列if n = 1write Aelsefor i 1 to n doHeapPermute(n-1)if n is oddswap A1and Anelse swap Aiand An解：n=1 时，输出 a1n=2 时，输出 a1a2，a2a
4、1n=3 时，(1) 第一次循环 i=1 时，HeapPermute(2)将 a1a2 做完全排列输出，记为a1a2a3，并将 A 变为 a2a1a3，并交换 1,3 位，得 a3a1a2(2) 第二次循环 i=2 时，HeapPermute(2)输出a3a1a2，并将 A 变为a1a3a2，交换 1,3 位，得 a2a3a1(3) 第三次循环 i=3 时，HeapPermute(2)输出a2a3a1，并将 A 变为a3a2a1，交换 1,3 位，得 a1a2a3，即全部输出完毕后数组 A 回到初始顺序。n=4 时，(1)i=1 时，HeapPermute(3)输出a1a2a3a4，并且 a1
5、a2a3 顺序不变，交换 1,4 位，得 a4a2a3a1(2)i=2 时，HeapPermute(3)输出a4a2a3a1，并且 a4a2a3 顺序不变，交换 2,4 位，得 a4a1a3a2(3)i=3 时，HeapPermute(3)输出a4a1a3a2，并且 a4a1a3 顺序不变，交换 3,4 位，得 a4a1a2a3(4)i=4 时，HeapPermute(3)输出a4a1a2a3，并且 a4a1a2 顺序不变，交换 4,4 位，得 a4a1a2a3，即全部输出完毕后数组 A 循环右移一位。由以上分析可得出结论：当 n 为偶数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素循环
6、右移一位。当 n 为奇数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素顺序保持不变。所以由归纳法证明如下：(1)i=1 时，显然成立。(2)i=k 为偶数时，假设输出的是全排列，则 i=k+1(奇数)时，k+1 次循环中，每次前 k 个元素做全排列输出后循环右移一位，所以对换 swap A1and An可以保证每次将前 k 个元素中的一个换到 k+1 的位置，所以 k+1 次循环后输出的是 A1k+1的全排列。(3)i=k 为奇数时，假设输出的是全排列,则 i=k+1(偶数)时，k+1 次循环中，每次前 k 个元素做全排列输出后顺序保持不变，所以对换 swap Aiand An可以保证每
7、次将前 k 个元素中的一个换到 k+1 的位置，所以 k+1 次循环后输出的是 A1k+1的全排列。证毕。时间复杂度递推公式为 T(n) = 1 n=1= n T(n-1)+2 n1化简得 T(n) = n! + O(nn-1)所以时间复杂度为 O(n!) + O(nn-1)四、对于求 n 个实数构成的数组中最小元素的位置问题，写出你设计的具有减治思想算法的伪代码，确定其时间效率，并与该问题的蛮力算法相比较。解：(1)算法思想：将 n 分为n/2，n-n/2(表示向下取整)两部分，分别找出其中的最小元及其位置，比较这两个元素的大小，得出总的最小元素的位置。(2)伪代码：(x,i) = Find
8、LeastElement(a,b)/从数组 Aab中找出最小元 x，及其位置 i/输入：全局实数数组 A1n，搜索起始位置 a,结束位置 b/输出：最小元素 x 及其位置 iif a=breturn （Aa,a）else(x1,i) = FindLeastElement(1,n/2);(x2,j) = FindLeastElement(n/2+1,n);if x11化简：F(n) = 2F(n/2) + 1= 22F(n/22)+1 + 1= 22F(n/22) + 2 + 1= 2kF(2k/2k) + 1 + 2 + + 2k-1 ( n=2k)= 2n-1所以复杂度为 O(2n-1)蛮力
9、法的复杂度为 O(n)，所以此方法还没有蛮力法效率高，因为减治后会增加比较次数。五、请给出约瑟夫斯问题的非递推公式 J（n） ，并证明之。其中，n 为最初总人数，J(n) 为最后幸存者的最初编号。解：已知幸存者号码的递推公式：J(1) = 1;J(2k) = 2J(k) 1; n=2k J(2k+1) = 2J(k) + 1; n=2k+1幸存者号码非递推公式：设 n = 2m + b，J(n) = 2*b+1 (0=0)证明(数学归纳法) ：(1) i=1 时，m=0，b=0，J(1)=2*b+1=1，成立。(2) i1 时，当 i 为偶数时，设 k = i/2 时成立，即 k = 2m + b，则 J(k) = 2b+1，此时，i = 2k = 2m+1 + 2bJ(i) = J(2k) = 2J(k) 1 = 2(2b+1) 1 = 4b + 1 = 2(2b) + 1，即 k=i 时成立。当 i 为奇数时，设 k = (i-1)/2 时成立，即 k = 2m + b，则 J(k) = 2b+1，此时，i = 2k + 1 = 2m+1 + 2b+1J(i)= J(2k+1) = 2J(k)+1 = 2(2b+1)+1 = 4b+3 = 2(2b+1)+1，即 k=i 时成立。证毕。
