1、第 1 页（共 33 页）弧长与扇形面积 一选择题（共 12 小题）1如图，O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是O 上任意一点（P 与 A、B 、C、D 不重合） ，经过 P 作 PMAB 于点M，PNCD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45时，点 Q 走过的路径长为（ ）A B C D2如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 2，B=135，则 的长（ ）A2 B C D3如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，CDB=30，CD= ，则阴影部分图形的面积为（ ）A4 B2 C D4如图，菱形 ABCD 的边长为 2
2、，A=60 ，以点 B 为圆心的圆与 AD、DC 相切，与 AB、CB 的延长线分别相交于点 E、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A + B + C D2 +5如图，AB 是 O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 E 为 OB 的中点， CDB=30，CD=4 ，则阴影部分的面积为（ ）A B4 C D 第 2 页（共 33 页）6如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半 径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所 得扇 形DAB 的面积为（ ）A6 B7 C8 D97如图，在矩形 ABCD 中，CD=1， DBC=30若将 BD 绕点 B
3、 旋转后，点 D 落在 DC延长线上的点 E 处，点 D 经过的路径 ，则图中阴影部分的面积是（ ）A B C D 8如图，已知O 的一条直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2，AE= ，CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A B C D8 9 109如图，在ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4 ，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 30后得到ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A B C D 10如图，已知ABCD 的对角线 BD=4cm，将ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180，则点 D所转过的路径长为（ ）A4 cm B3 cm C2 cm D
4、cm11如图，扇形 AOB 中，AOB=150，AC=AO=6，D 为 AC 的中点，当弦 AC 沿扇形运动时，点 D 所经过的路程为（ ）A3 B C D412如图，水平地面上有一面积为 30cm2 的灰色扇形 OAB，其中 OA 的长度为 6cm，且OA 与地面垂直若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点 A 再一次接触地面，如图（乙）所示，则 O 点移动了（ ）cmA11 B12 C10+ D11+第 3 页（共 33 页）二填空题（共 8 小题）13如图，ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B 、C，如
5、果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 14如图，在ABCD 中，AD=2，AB=4，A=30 ，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 ） 15如图，在扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交 于点 E，以点O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 D若 OA=2，则阴影部分的面积为 16为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为 20m 的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为 17如图，某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花，半径 OA=4 米，
6、C是 OA 的中点，点 D 在 上，CD OB，则图中种植黄花（即阴影部分）的面积是 （结果保留 ） 18如图，在扇形 纸片AOB 中，OA=10， AOB=36，OB 在桌面内的直线 l 上现将此扇形沿 l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动） ，当 OA 落在 l 上时，停止旋转则点 O 所经过的路线长为 第 4 页（共 33 页）19如图，矩形 ABCD 中，BC=2AB=4，AE 平分 BAD 交边 BC 于点 E，AEC 的分线交 AD 于点 F，以点 D 为圆心，DF 为半径画圆弧交边 CD 于点 G，则 的长为 20 （2015安岳县二模）如图，在直角坐标系中，四边形 ABCD
7、是正方形，A（1，1） ，B （1，1） ，C（ 1，1） ，D （1，1） 曲线AA1A2A3叫做“正方形的渐开线”，其中弧 AA1、弧 A1A2、弧 A2A3、弧 A3A4所在圆的圆心依次是点 B、C、D、A 循环，则点 A2015 坐标是 三解答题（共 10 小题）21已知：如图ABC 内接于 O，OHAC 于 H，过 A 点的切线与 OC 的延长线交于点 D，B=30 ， 请求出：（1）AOC 的度数；（2）线段 AD 的长（结果保留根号） ；（3）求图中阴影部分的面积22如图，已知O 是ABC 的外接圆，AC 是直径，A=30 ，BC=2，点D 是 AB 的中点，连接 DO 并延长交
8、 O 于点 P，过点 P 作 PFAC 于点F（1）求劣弧 PC 的长；（结果保留 ）（2）求阴影部分的面积 （结果保留 ） 24如图 1 是一个供滑板爱好者滑行使用的 U 型池，图 2 是该 U 型池的横截面（实线部分）示意图，其中四边形 AMND 是矩形，弧 AmD 是半圆（1）若半圆 AmD 的半径是 4 米，U 型池边缘 AB=CD=20 米，点 E 在 CD 上，CE=4 米，一滑板爱好者从点 A 滑到点 E，求他滑行的最短距离（结果可保留根号） ；（2）若 U 型池的横截面的周长为 32 米，设 AD 为 2x，U 型池的强度为 y，已知 U 型池的强度是横截面的面积的 2 倍，当
9、 x 取何值时，U 型池的强度最大？25如图，一只狗用皮带系在 1010 的正方形狗窝的一角上，皮带长为 14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？第 5 页（共 33 页）26如图，菱形 ABCD 的边长为 6，BAD=60，AC 为对角线将ACD 绕点 A 逆时针旋转 60得到ACD，连接 DC（1）求证：ADCADC；（2）求在旋转过程中点 C 扫过路径的长 （结果保留 ）27 （2012义乌市模拟）已知：如图，以等边三角形 ABC 一边 AB 为直径的O 与边AC、BC 分别交于点 D、E ，过点 D 作 DFBC，垂足为 F（1）求证：DF 为 O 的切线；（2）若等边三角形 ABC
10、 的边长为 4，求 DF 的长；（3）求图中阴影部分的面积28某机械厂有大量直角三角形铁板余料，已知ACB=90，AC=5cm，B=30现将这种三角形余料进行加工裁剪成扇形（如图甲）和半圆形（如图乙、丙）的零件垫片，图甲中 D 为切点，图乙中 C、D 为切点，图丙中 D、E 为切点（1）分别求出三种情形下零件垫片的面积；（2）哪种裁剪方式可使余料再利用最好29如图 1 至图 5，O 均作无滑动滚动，O 1、O 2、O 3、O 4 均表示O 与线段 AB 或 BC 相切于端点时刻的位置，O 的周长为 c阅读理解：（1）如图 1，O 从 O1 的位置出发，沿 AB 滚动到O 2 的位置，当 AB=
11、c 时，O 恰好自转 1 周；（2）如图 2，ABC 相邻的补角是 n， O 在ABC 外部沿 ABC 滚动，在点 B 处，必须由 O1 的位置旋转到 O2 的位置，O 绕点 B 旋转的角O 1BO2=n，O 在点 B 处自转周实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若 AB=2c，则 O 自转 周；若 AB=l，则O 自转 周在阅读理解的（2）中，若ABC=120 ，则 O 在点 B 处自转 周；若 ABC=60，则O 在点 B 处自转 周；第 6 页（共 33 页）（2）如图 3，ABC=90 ，AB=BC= c O 从O 1 的位置出发，在 ABC 外部沿 ABC滚动到O 4 的位置， O
12、 自转 周拓展联想：（1）如图 4，ABC 的周长为 l，O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，O 自转了多少周？请说明理由；（2）如图 5，多边形的周长为 l， O 从与某边相切于点 D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点 D 的位置，直接写出O 自转的周数30某课题小组对课本的习题进行了如下探索，请逐步思考并解答：（1）如图 1，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传动轮中心的距离是 10m，求这条传送带的长 （2）改变图形的数量；如图 2、将传动轮增加到 3 个
13、，每个传动轮的直径是 3m，每两个传动轮中心的距离是 10m，求这条传送带的长 （3）改变动态关系，将静态问题升华为动态问题：如图 3，一个半径为 1cm 的 P 沿边长为 2cm 的等边三角形ABC 的外沿作无滑动滚动一周，求圆心 P 经过的路径长？P 自转了多少周？（4）拓展与应用如图 4，一个半径为 1cm 的 P 沿半径为 3cm 的 O 外沿作无滑动滚动一周，则P 自转了多少周？第 7 页（共 33 页）参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1 （2015兰州）如图， O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是 O 上任意一点（P 与 A、B 、C、D 不重
14、合） ，经过 P 作 PMAB 于点 M，PN CD 于点 N，点 Q是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45时，点 Q 走过的路径长为（ ）A B C D考点： 弧长的计算；矩形的判定与性质菁优网版权所有专题： 压轴题分析： OP 的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得 OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式即可解答： 解： PMy 轴于点 M，PN x 轴于点 N，四边形 ONPM 是矩形，又 点 Q 为 MN 的中点，点 Q 为 OP 的中点，则 OQ=1，点 Q 走过的路径长= = 故选 A点评： 本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点 Q
15、运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式2 （2015义乌市）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形， O 的半径为 2，B=135，则 的长（ ）A2 B C D考点： 弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质菁优网版权所有分析： 连接 OA、OC，然后根据圆周角定理求得AOC 的度数，最后根据弧长公式求解第 8 页（共 33 页）解答： 解：连接 OA、OC，B=135，D=180135=45，AOC=90，则 的长= =故选 B点评： 本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L= 3 （2015自贡）如图， AB 是O 的直径，弦 CDAB， CDB
16、=30，CD= ，则阴影部分图形的面积为（ ）A4 B2 C D考点： 扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形菁优网版权所有专题： 数形结合分析： 连接 OD，则根据垂径定理可得出 CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形 OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可解答： 解：连接 ODCDAB，CE=DE= CD= （垂径定理） ，故 SOCE=SODE，即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，又CDB=30，COB=60（圆周角定理） ，OC=2，故 S 扇形 OBD= = ，即阴影部分的面积为 第 9 页（共 33 页）故选：D点评： 此题考查了扇形的面积计算、垂径定
17、理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，另外要熟记扇形的面积公式4 （2015泰安）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，A=60 ，以点 B 为圆心的圆与 AD、DC相切，与 AB、CB 的延长线分别相交于点 E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）A + B + C D2 +考点： 扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质菁优网版权所有分析： 设 AD 与圆的切点为 G，连接 BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积解答： 解：设 AD 与圆的切点为 G，连接 BG，BGAD，A=60，BGAD，
18、ABG=30，在直角ABG 中，BG= AB= 2= ，AG=1 ，圆 B 的半径为 ，SABG= 1 =在菱形 ABCD 中，A=60，则 ABC=120，EBF=120，S 阴影 =2（S ABGS 扇形 ABG）+S 扇形 FBE=2（ ）+= + 故选 A第 10 页（共 33 页）点评： 此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键5 （2015恩施州）如图， AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 E 为 OB 的中点，CDB=30，CD=4 ，则阴影部分的面积为（ ）A B4 C D 考点： 扇形面积的计算菁优网版权所有分析： 首先证明 OE= OC= OB，则可以证得OECBED，则 S阴影 =半圆S 扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解解答： 解：COB=2 CDB=60，又 CDAB，OCE=30，CE=DE，OE= OC= OB=2 ，OC=4. 1S 阴影 = = 故选 D点评： 本题考查了扇形的面积公式，证明OEC BED，得到 S阴影 =半圆S 扇形OCB 是本题的关键6 （2015东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 DAB 的面积为（ ）A6 B7 C8 D9
