1、1钉子板上的多边形-连云港市院前小学 李吉爱教学内容：义务教育教科书数学五年级上册第 108-109 页。教学目标：1探索并初步发现钉子板上多边形内有 1、2、3 枚以以上钉子的多边形的面积与多边形边上的钉子数之间的关系，激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。2经历探索过程，积累探索经验，体验成功乐趣。3通过小组合作，类比迁移探索问题的方法，尝试探索研究同类问题。教学重点：探索钉子板上的多边形面积与边上钉子数和中间钉子数之间的规律。教学难点：在有限的课堂时间内进行类比推导，得出一般规律。教具准备：钉子板、钉子板套管（橡皮泥替代） 、板贴、多媒体课件。学具准备：钉子板、作业纸等教
2、学过程：课前交流对话：（预设 3 分钟）主要围绕“会观察、敢猜想”这两个关键词。1.孩子们，认识老师吗？老师姓啥名啥？你是怎么知道的？（在学生猜想后点击课件全部显示）只显示一半你就能猜出来，你属牛的吧！你太牛了！可见你善于观察，敢于猜想（磁板分别贴出善于观察、敢于猜想） ，这两点是我们学习数学时，很优秀的品质。2.你知道今天将要学习什么知识吗？（在学生回答后点击课件出示课题）你是怎么知道的？看来咱们班会观察，敢猜想的同学真不少！老师希望这节课中能看到更多的同学具有这种品质！准备好了吗？下面我们开始上课！一、激趣生疑，直观感知（预设：3 分钟）1.复习学过的平面图形的面积，引出一道稍难的问题，埋
3、下伏笔，引出课题。a.过渡引入：我们学过好多平面图形，老师考考你，谁能在 20 秒之内答出它的面积是多少吗？（点击课件出示例题中平行四边形的那道题）2b.看来这种题目难不倒大家！老师再出一道，考考你！（点击出示 ） ，在 20 秒后，点击课件消失，问：怎么没有刚才那么迅速呢？ 预设：学生会说出关于“割补”的字眼。教师板书“割补拼接”二字。教师用课件配合进行点拨。 （揭示答案 17.5 平方厘米）c.过渡：老师想告诉你，只要你用心上完这节课，保你在 20 秒之内就能解答出来！你们想学习这个绝招吗？（想） 告诉你吧，解决这个难题的奥妙就藏在这个小小的钉子板中。 （磁板贴出课题：钉子板上的多边形）
4、，学生齐读。二、学习新课，建构知识（预设 33 分钟）1.呈现一个钉子板围成的多边形-简化成点子图。 （预设：2 分钟）a.师：为了便于研究，我们把钉子板上的多边形简化在点子图上。 （课件显示）我们约定钉子板上以及点子图上的每相邻两个点之间的距离都是 1 厘米。 （显示 1cm）b.请问这四枚钉子围成的多边形，它的面积是多少平方厘米？c.这八枚钉子围成的多边形呢？你是怎么知道的？（求出来的，还可以数出来。我们数数看，小结：这种规则的多边形用“数”的办法更实用）d.观察比较：这两个图形有什么不同之处呢？ 预设：边长不同，面积不相等；边上的钉子枚数也不相同；里面钉子个数不同；边上的钉子枚数越多，围
5、成的图形的面积就越大。如果学生说不出“边上钉子数”这点，点击课件，友情提示。2.探究多边形内有 1 枚钉子的规律。 （10 分钟）（1）个例发现，形成猜想。a.过渡：看来一个图形的面积与这个图形边上的钉子数密切有关。 （在表述的同时进行板贴：“多边形的面积” “边上的钉子数” ）它们之间到底有着怎样的联系呢？ b.我们先来观察这几个图形。带着学生一起数一数 1 号图形的边上有几枚钉子？3面积是多少呢？4 号图形我们刚才就已经知道了它的面积，它边上的钉子数是几呢？（在学生回答后，点击课件显示）c.出示探究表格，让学生仿照老师的样子独立完成剩下的 2 个图形吗？d.全班集体交流。指名学生回答，教师
6、即时点击课件显示。在反馈 3 号图形时，稍加突出，追问：这个图形的面积是多少？你是怎么想的？还可以怎么想？教师小结：在核算面积时，巧妙的“割补拼接”是个好方法。填写完成后，让学生仔细观察表格，你有什么发现？ 预设:学生回答出“多边形面积平方厘米数乘以 2 等于边上钉子的数量” ；教师就追问：倒过来怎么说呢？（多边形边上的钉子数的一半，等于多边形面积的平方厘米数）用数量关系式表达出来就是-。在学生答道点子上后，即时整理板书，补充“=” 、 “2”。评价：宝贝们，你们太了不起了，异中求同，找到了规律！（板贴：异中求同）（2）举例验证，再生疑惑。过度：不过我们发现的这个规律，到目前为止只能算是一个“
7、猜测” ，只有经得住“验证” （板贴勤于验证） ，才能称作规律。下面我们找个多边形验证一下，好吗？课件出示：一个底 4 厘米，高 2 厘米的三角形。师：让学生一起数边上的钉子数（8 枚） ，按照刚才的发现，这个图形的面积就应该是?(8 的一半，等于 4 平方厘米)，用原先底高2 的方法，谁帮老师算一下？（422=4） ，完全符合！师：老师这儿还有一个边上是 8 枚钉子的图形（点击课件） ，它的面积是？（预设大多数学生上当会说是 4）师：追问：同意吗？教师课件点拨-这儿光整格子就已经是 4 平方厘米了，何况还多了一个三角形呢！怎么回事呢？ （3）归纳概括，形成结论。师：我们暂且不看这个图形，先比
8、较一下这几个符合规律的有什么共同点？（内部钉子只有一枚）4师：看样多边形的面积不仅和边上的钉子数有关，还和内部的钉子数有关系！因而我们的这个发现，必须要加上一个条件，才能正确！附加什么条件呢？（在学生表述后，贴上板贴：“内部钉子数 1 枚” ；在贴上板贴时，教师故意贴不下，用字母表示的需求由此而生。 ）师：这么多字，都贴不下了，有办法让这句话简洁一些吗？（用字母表示）我们在表示面积时一般用 s 表示，多边形边上的钉子数用 n 表示， （在对应的位置板书“s” 、和“n” ）那么这个规律可以写成-s=n2。小结回顾：回顾刚才我们在探索规律的过程，我们先是仔细观察，然后异中求同，提出猜想，最后通过
9、验证，终于找到了这样的一条规律：（指着板书）当多边形内部钉子数 1 枚时，-提示学生齐读“多边形的面积=边上钉子数2”，也就是 s=n2。3.探究多边形内有 2 枚钉子的情况。 （预设 10 分钟）过渡：老师有个疑问：（对着课件）这种内部有 2 枚钉子的多边形，会不会也有类似的规律呢？我们能继续探究吗？（能）（1） 出示探究要求。请看活动要求，师 简单解读活动要求，宣布活动开始。（2）学生小组合作，完成探究活动（二） ，教师巡视，选取完成迅速的且具有典型性的 2 个小组作品，贴在黑板上。同时让学生代表用钉子板套管（或者橡皮泥）在内部钉子上做标记，并到电脑上输入相应的数据。（3）班级反馈。教师带
10、着全班同学先检查内部钉子数是否符合要求。（宝贝们，完成的小组向老师示意一下。不好意思，因为时间有限，所以不能让你们尽情的玩了。没有完成的小组，也停下来，好吗？我们一起来检查一下这几个小组围成的图形内部有几枚钉子）然后指名其中一个小组代表表述发现的规律。 （这是哪个小组的？能说说你们的发现吗？）教师随机板书： 当内部钉子数 2 枚 s=n2+1。课件中其它输入的数据，仅当作验证规律使用。(这是哪一组的数据，你们同意刚才的发现吗？我们一起来验证一下)预设：如果出现 s=（n+2）2 这种情况，可以把2 转化为0.5，用乘5法分配率处理。4.探究多边形内有 3 枚以及更多钉子的情况。 （预设 10
11、分钟）（1）推想多边形内部有 3 枚以及 3 枚以上钉子的规律。过度：（对着板书）你们太了不起来，如此迅速的从不同的多边形中找到了两条规律。这两个规律，看起来有些不同，但又有所相同。如果多边形内部有 3枚钉子，你猜猜会有怎样的变化？（学生表述后，教师板书“3” 、 “s=n2+2”）4 枚呢？（教师板书“4” 、 “s=n2+3”）5 枚呢？（教师板书“5” 、 “s=n2+4”）6 枚呢？7 枚呢？8 枚呢？ 20 枚呢？a 枚呢？师追问：后面加上的数有什么规律？（在学生回答到“后面加的数比内部的钉子数少 1”，板贴：内部钉子数1）（2）出示验证要求，完成探究活动（三）a.过度：你们太棒了，
12、特别善于观察，敢于猜测！但是这些猜测现在要打上一个“？” ，因为只用通过验证，才能完全成立！时间关系，我们分组行动吧！请你们小组合作，从中选择一条加以验证。b活动前稍加指导：（出示课件）如果你们小组想验证“内部钉子数 3 枚” ，这儿就填上 3，如果你们小组想验证“内部钉子数 4 枚” ，这儿就填上 4，这儿要填写刚才相应的推测！明白了吗？活动开始吧！c.学生活动，教师巡视。d集体交流。现在我们来汇报一下你们的验证结果！哪组先说？请你们组的一位同学把你们围成的图形举起来，给大家看一下，哪位代表发言？还有哪个组和他们组一样，也是验证这种类型的？你们和他们的结论一致吗？你们组是验证那一条？能说说吗
13、？e得出结论：师：经过大家的努力，我们现在可以确定这些猜想都是成立的。这么多的规律归结成一句话就是-多边形的面积=边上钉子数2+内部钉子数-1，用字母表示就是 s=n2+a-1，这里的 a 可以表示许多数。老师有个疑问：这里的 a 可以是 0 吗？（预设：不能|能）6教师点拨：（点击课件）出示四根钉子围成的一个正方形，我们把它放大一下（课件显示放大后的图形）带着学生一起核算。板书（0 s=n2+0-1，并随机改成 s=n2-1）三、课堂总结（预设 3 分钟）1.简介皮克定理师：孩子们，今天我们一起探索发现了-多边形的面积等于边上钉子数除以2，加上内部钉子数减一这个规律。实际上这和伟大的科学家皮
14、克发现的“皮克定理”是一致的：（课件展示）皮克在 1899 年发现：给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，其面积 S 与内部格点数 a、边上格点数 n 的关系：S=n2 + a -1。2.照应课前的问题。课件出示课前谈话中的难题，并告诉学生边上钉子数与内部钉子数，让学生快速计算。3.回顾反思：师：同学们谢谢你们的精彩合作！回顾我们探索和发现规律的过程，得出这个结论固然重要，但我觉得更重要的是整个过程中的体会，你想说说吗？（预设，学生不说，出现冷场，这样应对：老师估计你们会说，却不敢说，三个人是条龙，一个人变成“虫”！这样吧，老师送你一个“李悟”吧，注意此“李悟”非“礼”物但胜似“礼
15、物”-那是什么礼物呢？（点击课件出示） “一切推理猜想都必须从观察与验证得来。-李界”四、课外拓展：推荐一本书格点与面积今天我们学习的这个只是到初中大家还要深入学习，有兴趣的同学可以阅读这本书格点与面积 。在这本书中提及了这种横竖不相等的格点，有兴趣的同学自己探究一下。7板书设计：8板书设计钉子板上的多边形教师随机运用区 善于观察 异中求同 敢于猜想 勤于验证多边形的面积 = 边上钉子数 2 +内部钉子数-1内部钉子数 1 枚: s = n 2割补拼接2: s = n 2 +1学生钉子板粘贴区 3: s = n 2 +24: s = n 2 +35: s = n 2 +46: s = n 2 +5a: s = n 2 +a-10: s = n 2 +0-1
