1、高三数学试卷第 1 页 共 19 页南京市、盐城市 2018 届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注 意 事 项 ：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：样本数据 x1，x 2，x n 的方差 s2 (xi )2，其中 xi；1n x x 1n锥体的体积公式：V Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高13一 、 填 空 题 （
2、本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的指 定 位 置 上 ）1函数 f (x)lg(2x )的定义域为 _2已知复数 z 满足 i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模为 z1 2i3执行如图所示的算法流程图，则输出 a 的值为 4某学生 5 次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为 _53 名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有 2 名教师被派往甲地的概率为 N 开始 i0 ，a6i 3 Y 输出 a i i1 结束 a 2aa 2(第
3、3 题)(第 4 题)7 98 3 5 79 1高三数学试卷第 2 页 共 19 页6已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn若 S1530，a 7 1，则 S9 的值为 _7在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c若 bsinAsinBacos 2B2c，则 的值为ac_8在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：x 2 1 (b0) 的两条渐近线与圆 O： 的四y2b2 2xy个交点依次为 A，B，C，D若矩形 ABCD 的面积为 b，则 b 的值为 9在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图 1 中阴影部分） ，折叠成底面边长为 的正四棱锥 S
4、-EFGH（如图 2） ，则正四棱锥 SEFGH 的体积为 2 _10已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f (x)x 2x 若 f (a)f (a)4，则实数a 的取值范围为 _11在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y (m0) 在 x1 处的切线为 l，则点(2，1) 到直线 l 的mx 1距离的最大值为 _12如图，在ABC 中，边 BC 的四等分点依次为 D，E，F若 2， 5，则 AE 的长AB AC AD AF 为 _AD B C E F G H(图 1)SEF GH(图 2)(第 9 题)(第 12 题)B E ACD F 高三数学试卷第 3 页 共
5、19 页13在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：(x4) 2( ya) 216 上两个动点，且AB2 若直线 l：y2x 上存在唯一的一个点 P，使得 ，则实数 a 的值为11 PA PB OC _14已知函数 f(x) tR 若函数 g (x)f (f (x) 1)恰有 4 个不同的零点， x3 3x2 t， x 0，x， x 0， )则 t 的取值范围为 _二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)2sin(x )(0， 的部分图象如图所示，直线
6、 x ，x 是其相2 2 12 712邻的两条对称轴（1）求函数 f(x)的解析式；（2）若 f( ) ，且 ，求 cos的值2 65 23 7616.（本小题满分 14 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与三角形 ABE 所在平面互相垂直，AEAB，M，N，H 分别为DE，AB，BE 的中点（1）求证：MN平面 BEC；（2）求证：AHCE17(本小题满分 14 分)调查某地居民每年到商场购物次数 m 与商场面积 S、到商场距离 d 的关系，得到关系式 mk (k 为常数 )如图，某投资者计划在与商场 A 相距 10km 的新区新建商场 B，且商场 B 的面积Sd2与商场 A 的面积之比为
7、(01) 记“ 每年居民到商场 A 购物的 次数”、 “每年居民到商场 B 购（第 16 题）BEDAHCM Nyx21-1-212 2 712O（第 15 题）高三数学试卷第 4 页 共 19 页物的 次数”分别为 m1、m 2，称满足 m1m 2 的区域叫做商场 B 相对于 A 的“ 更强吸引区域”（1）已知 P 与 A 相距 15km，且PAB60 o当 时，居住在 P 点处的居民是否在商场 B12相对于 A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要 使 与 商 场 B 相 距 2 km 以 内 的 区 域 (含 边 界 )均 为 商 场 B 相对于 A 的 “更 强 吸 引 区 域
8、 ”， 求 的 取 值 范 围 18(本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 1(ab0)的离心率为 ，上顶点 A 到x2a2 y2b2右焦点的距离为 过点 D(0，m)(m 0)作不垂直于 x 轴，y 轴的直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，2C 为线段 PQ 的中点，且 ACOC（1）求椭圆 E 的方程；（2）求实数 m 的取值范围；（ 3） 延 长 AC 交 椭 圆 E 于 点 B， 记 AOB 与 AOC 的 面 积 分 别 为 S1， S2， 若 ， 求 直 线 l 的 方S1S2 83程 19(本小题满分 16 分)已知函数 f (x)x(e x2
9、)，g (x)xln xk，k R，e 为自然对数的底记函数 F(x)f(x)g (x)（1）求函数 yf ( x)2x 的极小值；（2）若 F(x)0 的解集为(0 ，+)，求 k 的取值范围；（3）记 F(x)的极值点为 m求证：函数 G(x)|F(x)|lnx 在区间(0，m )上单调递增(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20(本小题满分 16 分)PA B(第 17 题)yPDACO xQB(第 18 题)高三数学试卷第 5 页 共 19 页对于数列a n，定义 bn(k)a na nk ，其中 n，kN* （1）若 bn(2)b n(1)1，nN*，求 bn(4)b n(1)
10、的值；（2）若 a12，且对任意的 n，kN* ，都有 bn1 (k)2b n(k) （i）求数列a n的通项公式；（ii）设 k 为给定的正整数，记集合 Ab n(k)|nN* ，B5 bn(k2)|nN* ，求证：AB 南京市、盐城市 2018 届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2018.03注 意 事 项 ：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，
11、共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图，AB 是圆 O 的直径，AC 是弦，BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D，DEAC 且交 AC 的延长线于点 E，求证：DE 是圆 O 的切线B选修 42：矩阵与变换高三数学试卷第 6 页 共 19 页已知 为矩阵 A 属于实数 的一个特征向量，求 和 A211 1 a 1 2C选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，圆 C 的参数方程为(a0， 为参数) ，点 P 是圆 C 上的任意一点若点 P 到直线 l 距离的最大值为 3，求x
12、 acos，y asin)a 的值D选修 45：不等式选讲对任意 x，yR，求|x 1|x| |y1| |y1| 的最小值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）甲，乙两人站在 P 点处分别向 A，B，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中 A，B，C 的概率分别都为 ，121314（1）设 X 表示甲击中目标的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（2）求甲乙两人共击中目标数为 2 个的概率23 （本小题满分 10
13、 分）已知 nN*，且 n4，数列 T：a 1，a 2，a n 中的每一项均在集合 M1 ，2，n 中，且任意两项不相等（1）若 n7，且 a2a 3a 4a 5a 6，求数列 T 的个数；（2）若数列 T 中存在唯一的 ak（k N*，且 kn），满足 aka k1 ，求所有符合条件的数列 T高三数学试卷第 7 页 共 19 页的个数南京市、盐城市 2018 届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可
14、视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的指 定 位 置 上 ）1(，2) 2 33 416 5 69 7 2 853879 10(1，1) 11 12 132 或-18 144，0)43 2 6二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明
15、过程或演算步骤，请把高三数学试卷第 8 页 共 19 页答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)解：（1）设 f(x)的周期为 T，则 ，所以 TT2 712 12 2又 T ，所以 2，所以 f(x)2sin(2x ) 32分因为点( ，2)在函数图象上，所以 2sin(2 )2，即 sin( )112 12 6因为 ，所以 ，所以 f(x)2sin(2x )72 2 3 3分（2）由 f( ) ，得 sin( ) 2 65 3 35因为 ，所以 ，23 76 3 32所以 cos( ) 10 分3 45所以 coscos( ) cos( )cos sin( ) sin3 3
16、 3 3 3 3 ( ) 14 分4512 3516(本小题满分 14 分)（1）解法一：取 CE 中点 F，连接 FB，MF. 因为 M 为 DE 的中点，F 为 CE 的中点，所以 MFCD 且 MF CD 2 分12又因为在矩形 ABCD 中，N 为 AB 的中点，所以 BNCD 且 BN CD，12所以 MFBN 且 MFBN，所以四边形 BNMF 为平行四边形， 所以 MNBF 4 分又 MN平面 BEC，BF 平面 BEC，所以 MN平面 BEC 6 分解法二：取 AE 中点 G，连接 MG，GN. 因为 G 为 AE 的中点， M 为 DE 的中点，所以 MGAD 又因为在矩形
17、ABCD 中，BCAD ，所以 MGBC高三数学试卷第 9 页 共 19 页又因为 MG平面 BEC，BC平面 BEC，所以 MG平面 BEC 2 分因为 G 为 AE 的中点， N 为 AB 的中点，所以 GNBE又因为 GN平面 BEC，BE平面 BEC，所以 GN平面 BEC又因为 MGGNG，MG，GN平面 GMN，所以平面 GMN平面 BEC 4 分又因为 MN平面 GMN，所以 MN平面 BEC 6 分（2）因为四边形 ABCD 为矩形，所以 BCAB因为平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，BC 平面 ABCD，且BCAB ，所以 BC平面 ABE 8 分因
18、为 AH平面 ABE，所以 BCAH因为 ABAE，H 为 BE 的中点，所以 BEAH 10 分因为 BCBE B，BC平面 BEC，BE平面 BEC，所以 AH平面 BEC 12 分又因为 CE平面 BEC，所以 AHCE 14 分 17(本小题满分 14 分)解：设商场 A、B 的面积分别为 S1、S 2，点 P 到 A、B 的距离分别为 d1、d 2，则 S2S 1，m 1k ，m 2k ，k 为常数，k0S1d12 S2d22（1）在PAB 中，AB10，PA15，PAB60 o，由余弦定理，得 d22PB 2AB 2PA 22ABPAcos6010 215 221015 175 2
19、12分又 d12PA 2225， 此时，m 1m 2k k k k kS 1( )， 4S1d12 S2d22 S1d12 S1d22 1d12 d22分将 ，d 12 225，d 22175 代入，得 m1m 2kS 1( )12 1225 1350因为 kS10，所以 m1m 2，即居住在 P 点处的居民不在商场 B 相对于 A 的“ 更强吸引区域 ”内 6分（2）解法一：以 AB 所在直线为 x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0) ，B(10，0)，设 P(x，y) ，由 m1m 2 得，k k ，将 S2S 1 代入，得 d22d 128 分S1d12 S2
20、d22代入坐标，得(x10) 2y 2(x 2y 2)， 化简得(1 ) x2(1 ) y2 20x1000 10 分因为 01，配方得 (x )2y 2( )2，101 xy PA（O ） B(第 17 题)高三数学试卷第 10 页 共 19 页所以商场 B 相对于 A 的“ 更强吸引区域” 是：圆心为 C( ，0) ，半径为 r1 的圆的101 内部与 商 场 B 相 距 2 km 以 内 的 区 域 (含 边 界 )是：圆心为 B(10，0)，半径为 r22 的圆的内部及圆周 由题设，圆 B 内含于圆 C，即 BC| r1r 2| 12 分因为 01，所以 10 2， 101 整理得 4
21、5 10，解得 1 116所以，所求 的取值范围是 ( ，1) 11614 分解法二：要 使 与 商 场 B 相 距 2 km 以 内 的 区 域 (含 边 界 )均 为 商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域” ，则当 d22 时，不等式 m1m 2 恒成立由 m1m 2，得 k k k ，化简得 d12 8S1d12 S2d22 S1d22 d22分设PBA ，则 d12PA 2AB 2PB 22ABPBcos100d 2220d 2cos， 10 分所以 100d 2220d 2cos ，即 cosd22上式对于任意的 0，恒成立，则有 1， 12 分即 1 20 100( )2100( )21 (*)1 1d2 1d2 1d2 110由于 d22，所以 1d2 12当 时，不等式(*)右端的最大值为15，1d2 12所以 1 15，解得 1 116又 01，所以 的取值范围是 ( ，1) 11614 分18(本小题满分 16 分)解：（1）因为 所以 c1，b 2a 2c 21，ca22，a 2， )
