1、1北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2014.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合 2log0Ax,集合 01Bx,则 AB=A. 0 B. 1 C. x或 D. 2.为了得到函数 yx的图象，可以把函数 2y的图象上所有的点A. 向右平行移动 2 个单位长度B向右平行移动 1个单位长度C. 向左平行移动 2 个单
2、位长度D. 向左平行移动 个单位长度3. 执行如图所示的程序框图，输出的 k值为 A. 6 B. 24 C. 120 D. 74.已知函数 2,0,()xf则 2a是 ()4f成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件开始k=1i=2k=kii=i+1是i5?输出 k否结束25. 若实数 ,xy满足320y，则 zyx的最小值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 已知2，且4cos5，则tan()4等于 A. 7 B. 1 C. D. 77. 若双曲线 C： 2(0)xym与抛物线 xy162的准线交于 ,AB两点，且 43，则 m
3、的值是A. 16 B. 8 C. 5 D. 208. 函数2()3fx的图象为曲线 1C，函数2()4gx的图象为曲线 C，过 x轴上的动点,0Ma作垂直于 x轴的直线分别交曲线 1， 2于 ,AB两点，则线段 AB长度的最大值为 A2 B4 C 5 D 48第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列 na为等差数列，若 138a， 2460a，则公差 d 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 .俯视图11侧视图 正视图1311. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统
4、计了 100 名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这 100 名学生中阅读时间在 4,8)小时内的人数为_12.直线 l： 360xy被圆 :C221()5xy截得的弦 AB的长是 . 13.在 ABC中， ， AB，则 C ； |的最小值是 .14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形 （2）梯形 （3）直角三角形 （4）矩形三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本题满分 13 分）已知函数 22()sinicosfxxx.（）求 4的值；（）求函数
5、()fx的最小正周期及单调递增区间.16. （本题满分 13 分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人 5 次测试的成绩（单位：分）如下表：第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次甲 58 55 76 92 88乙 65 82 87 85 95（）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于 90 分的概率.频率/组距0.040.050.12小时842 6 10 120.150.14417. （本题满分 14 分）如图
6、，在三棱锥 PABC中，平面 P平面 ABC,PAC， 设 D， E分别为 ， 中点.（）求证： 平面 ；（）求证： 平面 ;（）试问在线段 AB上是否存在点 F，使得过三点 D,E, F的平面内的任一条直线都与平面 PBC平行？若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，请说明理由18.（本题满分 13 分）已知函数 32()fxax，其中 0a.（）若 04，求 的值，并求此时曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程；（）求函数 ()fx在区间 0,2上的最小值.19.（本题满分 14 分）已知椭圆 C两焦点坐标分别为 1(,0)F, 2(,)，一个顶点为 (0,1)A.（）求椭圆 的标准
7、方程；（）是否存在斜率为 (0)k的直线 l，使直线 l与椭圆 C交于不同的两点 ,MN，满足AMN. 若存在，求出 k的取值范围；若不存在，说明理由.20. （本题满分 13 分）已知数列 na的通项 1920nn， N.()求 12,；（）判断数列 na的增减性,并说明理由；() 设 1nnb，求数列 1nb的最大项和最小项 .DEBAPC5北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类） 2014.1一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C A B D D D二、填空题：三、解答题：15.解：（）依题意 2()sini1fxx
8、coi()4. 则 2sin()1f. .7 分（） ()fx的最小正周期 .当 242kk时，即 38kxk时, ()fx为增函数.则函数 ()fx的单调增区间为 , Z. .13 分 16 . 解：（）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好. .6 分 （）设事件 A：抽到的成绩中至少有一个高于 90 分. 从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：8,6,28,75,8,97,6,76,5592,6,892,7,892,共 25 个.事件 A包含的基本事件有题号 9 10 11 12 13 14答案
9、 416， 354102, 6（1）（2）（4）87569826甲 乙5572 585658,9,576,98,592,622共 9 个.所以 ()5PA，即抽到的成绩中至少有一个高于 90 分的概率为 925. .13 分17. 证明：（）因为点 E是 C中点，点 D为 PA的中点， 所以 D 又因为 面 B， 面 BC， 所以 平面 .4 分 （）因为平面 PAC面 , 平面 PA平面 BC= A,又 P平面 AC，所以 面 .所以 B 又因为 ，且 AB=，所以 C面 P .9 分 （）当点 F是线段 中点时，过点 D, E, F的平面内的任一条直线都与平面 PBC平行取 AB中点 ，连
10、 E，连 .由（）可知 平面 BC因为点 是 中点，点 为 A的中点，所以 F 又因为 E平面 P， 平面 P，所以 平面 BC又因为 D=，所以平面 F平面 ，所以平面 E内的任一条直线都与平面 PBC平行 故当点 是线段 AB中点时，过点 D, E, F所在平面内的任一条直线都与平面 PBC平行 .14 分 18. 解：（）已知函数 32()fxax，所以 2()f， 2(0)4f，又 0a，所以 .DEBAPCF7又 (1)5,()ff，所以曲线 yx在点 1,()f处的切线方程为 50xy. .5 分（） 0,2x， 22()3()3faxa令 ()f，则 12,x.（1）当 a时，
11、()0f在 ,上恒成立，所以函数 ()fx在区间 0,2上单调递增，所以 minx；（2）当 02时，在区间 ,)a上， ()0fx，在区间 (,2a上， ()fx，所以函数()fx在区间 ,)a上单调递减，在区间 ,2上单调递增，且 是 0,上唯一极值点，所以 3min()fxf；（3）当 2时，在区间 0,2上， 0x（仅有当 2a时 ()f），所以 ()fx 在区间 0,上单调递减所以函数 2min()()84fxfa.综上所述，当 2a时，函数 ()fx的最小值为 3a，2a时，函数 ()fx的最小值为 2 13 分19.解：（）设椭圆方程为21(0)yab.则依题意2c， 1b，所以
12、 223abc于是椭圆 C的方程为13xy.4 分（）存在这样的直线 l. 依题意，直线 l的斜率存在设直线 l的方程为 kxm，则由213xyk得22(3)630kxk因为2264()m得 21km 8设 12(,)(,)MxyN，线段 MN中点为 0(,)Pxy，则122631kmx于是 002 23,31kmmxk因为 A，所以 AP.若 0，则直线 l过原点， (0,)，不合题意.若 m，由 k得， 01ykx，整理得 231mk由知， 2， 所以 又 0k，所以 (1,),k. .14 分20（） .45a, 2. .2 分（） 11(0)9(0.5)9nnn .4n().则当 19n时， 10na，则 10n时，数列 na为递增数列， nN;当 0时， ，数列 a为递减数列， N. .7 分()由上问可得， 1.9(.5)nnnb， .令 1nc，即求数列 nc的最大项和最小项.则 18.50.9nb109().5.则数列 nc在 时递减，此时 90.nc，即 .90.nc；数列 在 10 时递减，此时 1.，即 27.因此数列 nc的最大项为 1027c，最小项为 9.c. .13 分
