1、ADB CE图 2-1截长补短法人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例 1. 已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中， BC AB， AD=DC， BD 平分 ABC.求证： BAD+ BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点
2、 E，作 DF BC 于点 F，如图 1-2 BD 平分 ABC， DE=DF，在 Rt ADE 与 Rt CDF 中，CDAFE Rt ADE Rt CDF(HL), DAE= DCF.又 BAD+ DAE=180， BAD+ DCF=180，即 BAD+ BCD=180例 2. 如图 2-1， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD 上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 C
3、D 上截取 CF=BC，如图 2-2在 FCE 与 BCE 中，CEBF FCE BCE（ SAS）,2=1.AB CD图 1-1FEDCBA图 1-2ADB CE F1234图 2-2又 AD BC， ADC+ BCD=180， DCE+ CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在 FDE 与 ADE 中，43DEAF FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC.例 3. 已知，如图 3-1，1=2， P 为 BN 上一点，且 PD BC 于点 D， AB+BC=2BD.求证： BAP+ BCP=180.分析：与例 1 相类似，证两个角的和是
4、180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 3-21=2，且 PD BC， PE=PD，在 Rt BPE 与 Rt BPD 中，BPDE Rt BPE Rt BPD(HL), BE=BD. AB+BC=2BD， AB+BD+DC=BD+BE， AB+DC=BE 即 DC=BE-AB=AE.在 Rt APE 与 Rt CPD 中,DCAEP Rt APE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=180, BAP+ BCP=180例 4. 已知：如
5、图 4-1，在 ABC 中， C2 B，12.求证： AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC 至 E 使 CE=CD，或在 AB 上截取 AF=AC.AB CDP12N图 3-1P12NAB CDE图 3-2D CBA12图 4-1证明：方法一（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 4-2 ACB2 E， ACB2 B， B E，在 ABD 与 AED 中,ADEB21 ABD AED（ AAS）, AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.方法二（截长法）在 AB 上截取 AF=AC，如图 4-3在 AFD 与 ACD 中,ADCF21 AFD ACD（ SAS）, DF=DC， AFD ACD.又 ACB2 B， FDB B， FD=FB. AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。ED CBA12图 4-2FD CBA1 2图 4-3
