1、- 1 -初二数学（上）应知应会的知识点 因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2因式分解的方法：常用“提取公因式法” 、 “公式法” 、 “分组分解法” 、 “十字相乘法”.3公因式的确定：系数的最大公约数相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3.4因式分解的公式： (1)平方差公式： a2-b2=（a+ b） （a- b） ；(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.
2、5因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7完全平方式：
3、能化为（m+n）2 的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q 是完全平方式 q2p”.分式1分式：一般地，用 A、B 表示两个整式，AB 就可以表示为 BA的形式，如果 B 中含有字母，式子 叫做分式.2有理式：整式与分式统称有理式；即 分 式整 式有 理 式.3对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.- 2 -4分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在
4、分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即 分 母分 子分 母分 子分 母分 子分 母分 子 （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7分式的乘除法法则：,bdacbcad.8分式的乘方：为 正 整 数 ）（ n.ban.9负整指数计算法则：（1）公式： a0=1(a0), a-n= na1(a0)；（2）正整指数的运算法则都可
5、用于负整指数计算；（3）公式：nab， nmab；（4）公式： （-1）-2=1 ， （-1）-3=-1.10分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11最简公分母的确定：系数的最小公倍数相同因式的最高次幂.12同分母与异分母的分式加减法法则： ;cbabdcadcba.13含有字母系数的一元一次方程：在方程 ax+b=0(a0)中,x 是未知数,a 和 b是用字母表示的已知数，对 x 来说，字母 a 是 x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意
6、：在字母方程中,一般用 a、b、c 等表示已知数，用 x、y、z 等表示未知数.- 3 -14公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为 0.15分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17分
7、式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母） ，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1平方根的定义：若 x2=a,那么 x 叫 a 的平方根， （即 a 的平方根是 x） ；注意：（1）a 叫 x 的平方数， （ 2）已知 x 求 a 叫乘方，已知 a 求 x 叫开方，乘方与开方互为逆运算.2平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0 的平方根
8、还是 0；（3）负数没有平方根.3平方根的表示方法：a 的平方根表示为 a和 .注意： a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4算术平方根：正数 a 的正的平方根叫 a 的算术平方根，表示为 a.注意：0的算术平方根还是 0.5三个重要非负数： a20 ,|a|0 ， 0 .注意：非负数之和为 0，说明它们都是 0.6两个重要公式： （1） a2; (a0)- 4 -（2） )0a(a2.7立方根的定义：若 x3=a,那么 x 叫 a 的立方根， （即 a 的立方根是 x）.注意：（1）a 叫 x 的立方数；（2）a 的立方根表示为 3；即把 a 开三次方.8立方根的性质：（1
9、）正数的立方根是一个正数；（2）0 的立方根还是 0；（3）负数的立方根是一个负数.9立方根的特性： 33a.10无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.11实数：有理数和无理数统称实数.12实数的分类：（1） 无 限 不 循 环 小 数负 无 理 数正 无 理 数无 理 数 数有 限 小 数 与 无 限 循 环 小负 有 理 数正 有 理 数有 理 数实 数 0（2）负 实 数正 实 数实 数 0.13数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数
10、的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆： 4.732.1 36.5.三角形几何 A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) AD 平分 BACBAD= CAD(2) BAD=CADAD 是角平分线- 5 -2三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) AD 是三角形的中线 BD = CD (2) BD = CDA
11、D 是三角形的中线3三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) AD 是 ABC 的高ADB=90 (2) ADB=90AD 是 ABC 的高4三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）AB C几何表达式举例：(1) AB+BCAC(2) AB-BCAC5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1) ABC 是等腰三角形 AB = AC (2) AB = AC ABC 是等腰三角形6等边三角形的定义：有三条边相等的
12、三角形叫做等边三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1)ABC 是等边三角形AB=BC=AC(2) AB=BC=ACABC 是等边三角形7三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和 180；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.几何表达式举例：(1) A+ B+C=180(2) C=90A+B=90(3) ACD=A+B- 6 -（1） （2） （3） （4）(4) ACD A8直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(
13、1) C=90ABC 是直角三角形(2) ABC 是直角三角形C=909等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图） ABC几何表达式举例：(1) C=90 CA=CBABC 是等腰直角三角形(2) ABC 是等腰直角三角形C=90 CA=CB10全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等.（如图）几何表达式举例：(1) ABCEFG AB = EF (2) ABCEFGA=E 11全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图）（1） （2）（3）几何表达式举例：(1) AB = EF B=
14、F又 BC = FGABC EFG(2) (3)在 RtABC 和 RtEFG中 AB=EF又 AC = EGRt ABCRtEFGAB C GEFAB C GEFABCEFGDAB CAB CABC- 7 -12角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）AO BCDE几何表达式举例：(1)OC 平分AOB又CDOA CEOB CD = CE (2) CD OA CEOB又CD = CEOC 是角平分线13线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图） A BEF
15、O几何表达式举例：(1) EF 垂直平分 ABEF AB OA=OB(2) EF AB OA=OBEF 是 AB 的垂直平分线14线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）A BCMNP几何表达式举例：(1) MN 是线段 AB 的垂直平分线 PA = PB (2) PA = PB点 P 在线段 AB 的垂直平分线上15等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合
16、一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是 60.（如图）AB C （1） AB CD （2） 几何表达式举例：(1) AB = ACB=C (2) AB = AC又BAD= CADBD = CDADBC(3) ABC 是等边三角形 A=B=C =60- 8 -AB C（3）16等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边） （如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）AB
17、 C（1）AB C（2） （3）ABC （4）几何表达式举例：(1) B=C AB = AC (2) A= B=CABC 是等边三角形(3) A=60又AB = ACABC 是等边三角形(4) C=90B=30 AC = 21AB17关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）几何表达式举例：(1) ABC、EGF 关于 MN 轴对称ABC EGF(2) ABC、EGF 关于 MN 轴对称OA=OE MNAE18勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，
18、即 a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) ABC 是直角三角形a2+b2=c2(2) a2+b2=c2ABC 是直角三角形19Rt 斜边中线定理及逆定理：几何表达式举例：ABC 是直角三角形EFMOABCNG- 9 -（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）DABCD 是 AB 的中点CD = 21AB(2) CD=AD=BDABC 是直角三角形几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于
19、填空和选择题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二 常识：1三角形中，第三边长的判断： 另两边之差第三边另两边之和.2三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若 CDAB ，BECA ，则CDAB=BECA.4三角形能否成立的条件是
20、：最长边另两边之和.5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6分别含 30、45、60的直角三角形是特殊的直角三角形.7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1） ACCB=CDAB ； （2）1= B ，2=A .8三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10等边三角形是特殊的等腰三角形.11几何习题中， “文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12符合“AAA” “SSA”条件的三角形不能判定全等.13几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（
21、2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15会用尺规完成“SAS” 、 “ASA”、 “AAS”、 “SSS”、 “HL”、 “等腰三角形” 、AB CEDABCD12- 10 -“等边三角形” 、 “等腰直角三角形”的作图.16作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.
22、18几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则： 构造特殊图形，使可用的定理增加； 一举多得； 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； 作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若 BD 是角平分线） 在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，转移线段和角； 过 D 点作 DEBC 交 AB 于 E，构造等腰三角形 .（3）已知三角形中线（若 AD 是 BC 的中线） 过 D 点作 DEAC 交AB 于 E，构造中位线 ； 延长 AD 到 E，使DE=AD 连结 CE 构造全等，转移线段和角； AD 是中线 SABD= S ADC（等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC 作等腰三角形 ABC 底边的中线AD（顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形； 作等腰三角形 ABC 一边的平行线DE，构造新的等腰三角形.B CDAEB CDAEADECBADECBAD CBAD CBEAD CBEADCB
