人教版高中数学必修1知识点总结-2016.doc

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1、第 1 页 共 9 页高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性:(1) 元素的确定性如:世界上最高的山(2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示: 如: 我校的篮球队员 ,太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 N*或 N

2、+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R1) 列举法:a,b,c2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-323) 语言描述法:例: 不是直角三角形的三角形4) Venn 图:4、集合的分类:(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x 2=5二、集合间的基本关系1.“包含 ”关系子集注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ;(2) A 与 B 是同一集合。B反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA2 “相等

3、 ”关系:A=B (55,且 55,则 5=5)实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等 ”即: 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 第 2 页 共 9 页规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2 n-1 个真子集,2 n-2 个非空真子集三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A

4、且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作A B(读作 A交 B) ,即A B=x|x A,且 x B 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集 记作:A B(读作 A 并B) ,即 A B =x|xA,或 x B)设 S 是一个集合,A是 S 的一个子集,由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作 ,即CSCSA= ,|Ax且韦恩图示A B图1A B图2性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(

5、CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= SA第 3 页 共 9 页二、函数的有关概念1函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意:1定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主

6、要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,

7、以函数 y=f(x) , (xA) 中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点 P(x, y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x, y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x, y),均在 C 上 . (2) 画法A、 描点法:B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示第 4 页 共 9 页5映射一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f

8、,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f(对应关系):A(原象) B(象) ”对于映射 f: A B 来说,则应满足:(1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;(2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充:

9、复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x 2,当 x11,axnxann且 *nN 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 。0当 是奇数时, ,当 是偶数时,ann)(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:,)1,0(*nNmanm ,1*n 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质(1) ra sr;)

10、,(R(2)rsr;,0(3)srab)(,a(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数,其中)1,0(ayx且x 是自变量,函数的定义域为 R注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 0a1alo第 8 页 共 9 页32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域 x0 定义域 x0值域为 R 值域为 R在 R 上递增 在 R 上递减函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点

11、(1,0)(三)幂函数1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常xy)(Ra数2、幂函数性质归纳(1)所有的幂函数在(0,+ )都有定义并且图象都过点(1,1 ) ;(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数特别 ),0地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;10(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内,当),(从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,xyyx图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数)(Dxfy0)(xf叫

12、做函数 的零点。x)(xfy2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数ff的图象与 轴交点的横坐标。)(f即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数0)(xfy有零点xfy3、函数零点的求法:(代数法)求方程 的实数根;1 )(xf(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联2 )(xfy系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点:二次函数 )0(2acbxy(1),方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两x个交点,二次函数有两个零点(2),方程 有两相等实根,二次函数的图象与 轴有一2个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点第 9 页 共 9 页(3),方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二02cbxa x次函数无零点

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