1、人教版高中数学必修一各章节知识点与重难点第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示【知识要点】1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合的中元素的三个特性（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性2、 “属于”的概念我们通常用大写的拉丁字母 A,B,C, 表示集合，用小写拉丁字母 a,b,c, 表示元素如：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA，如果 a 不属于集合 A 记作 a A3、常用数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作 ：N* 或 N+ ；整数集记作：Z；
2、有理数集记作：Q；实数集记作：R4、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x R| x-32或x| x-32（3）图示法（Venn 图）1.1.2 集合间的基本关系【知识要点】1、 “包含”关系子集一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B2、 “相等”关系如果集合 A 的任何一个元素都是集合
3、B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合 A的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B 且3、真子集如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集 .1.1.3 集合的基本运算【知识要点】1、交集的定义一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作“A 交 B”)，即 AB=x| xA，且 xB 2、并集的定义一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,
4、B 的并集。记作：AB(读作“A 并 B”)，即 AB=x | xA，或 xB3、交集与并集的性质AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , A B = BA.4、全集与补集（1）全集如果集合 U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（2）补集设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集（即 A U） ，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 U 中子集 A 的补集（或余集） 。记作： CUA ，即 CSA =x | x U 且 x A（3）性质CU(C UA)=A，(C UA)A= ，(C UA)A=U ；(C
5、 UA)(C UB)=C U(AB)，(C UA)(C UB)=C U(AB).1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念【知识要点】1、函数的概念设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域【注意】（1）如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域
6、即是指能使这个式子有意义的实数的集合；（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零； （3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于 1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)2、构成函数的三要素定义域、对应关系和值域【注意】（1）构成函数三个要素是定义域、对
7、应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。3、相同函数的判断方法（1）定义域一致；（2）表达式相同 (两点必须同时具备)【值域补充】（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。4、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示
8、1.2.2 函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。（2）函数的表示法解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征【注意】解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值2、分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析
9、式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集3、复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f 是 g 的复合函数.4、函数图象知识归纳（1）定义在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数
10、关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.（2）画法A、描点法根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换（）对称变换将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y
11、=f(x)的图象如：书上 P21 例 5 y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 1xxxyaa与y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 1logloglay与（）平移变换由 f(x)得到 f(x a) 左加右减；由 f(x)得到 f(x) a 上加下减（3）作用A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。5、映射定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A
12、B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象【说明】函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应（1）集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；（2）对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；（3）对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要
13、求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6、函数的解析式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数 fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)【重点】函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映
14、射的概念1.3 函数的基本性质1.3.1 函数单调性与最大（小）值【知识要点】1、函数的单调性定义设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x 2，当 x1 0（C 为常数）时， 与 fA的单调性相同；当 C 1图象定义域 R ,值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1(2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数性质（3）当 x0 时,01（3）当 x0 时,y1;当 x0 时,0100 时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x1图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；2
15、.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算【知识要点】1、对数的概念一般地，如果 ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：xaN logaxN（ a 底数， N 真数， 对数式）loga【注意】（1）注意底数的限制，a0 且 a1；（2）真数 N0；（3）注意对数的书写格式2、两个重要对数（1）常用对数：以 10 为底的对数, ；10loglN记 为（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , lneN记 为3、对数式与指数式的互化 logxaxN对数式 指数式对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂【结论】（1）负数和零没有对数（2）log aa=1, loga1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0（3）对数恒等式： logNa4、如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有（1） logllaa（ ）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和（1） aaalogll两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差（3） loglnnaa（ R）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍【说明】（1）简易语言表达:”积的对数= 对数的和”（2）有时可逆向运用公式（3）真数的取值必须是(0,)（4）特别注意： NMNaaalogllog
