1、1第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y（3）元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N，正整数集 N*或 N+ ， 整数集 Z ，有理数集 Q ， 实数集 R。（1）列举法：a,b,c（2）描述
2、法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-321） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形2） Venn 图:4、集合的分类：有限集 ： 含有有限个元素的集合无限集 ： 含有无限个元素的集合空集 ： 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，BA；（2）A 与 B 是同一集合。2反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1
3、,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 A B, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2 n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集记作A B（读作A 交 B） ，即 A B=x|xA，且由所有属于集合 A 或属于集合 B
4、 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：A B（读作A并 B） ，即 A B =x|x A，或 x设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|Ax且 S A3x B B)韦恩图示A B图1A B图2SA性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班
5、所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 .4.设集合 A= ，B= ，若 A B，则 的取值范围是 1xxaa5.50 名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。46. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-m
6、x+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值一、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根
7、的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备)2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点5P(
8、x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法1）描点法2）图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为
9、从集合 A到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)6=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二
10、函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当x11，且 *annN 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。当 是奇数时， ，当 是偶数时，an)0(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm ,1*n 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ；rasr),(Rsa（2） ；s)(0（3） srb,（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，)1,0(
11、ayx且函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 0a1 654321-1-4 -2 2 4 60654321-1-4 -2 2 4 60定义域 R 定义域 R值域 y0 值域 y0在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数10函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上， 值域是)1a0()xf且或 ；)b(f,aa(),f（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且0x1仅当 ；R（3）对于指数函数 ，总有)1a0()xf且；a)1(f二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果 ，Nax)1,0(a那么数 叫做以 为底 的对数，记作：xa（ 底数， 真数， 对Nalog alog数式）说明： 注意底数的限制 ，且 ； 1 0a1； 2 xaxl注意对数的书写格式 3两个重要对数：常用对数：以 10 为底的对数 ； 1 Nlg自然对数：以无理数 为底的对数的 2 7182.e对数 Nln 指数式与对数式的互化幂值 真数 N bbaloga底数指数 对数（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：0a10MN ； 1 (log)Nalogal ； 2 aalo
