1、1基本初等函数一 【要点精讲】1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的 次方等于 ，则这个数称 的 次方根。即若n),1(Nna且 an，则 称 的 次方根 ，axn)且1）当 为奇数时， 次方根记作 ；的 n2）当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方根且互为相反数，记作aan)0(an性质：1） ；2）当 为奇数时， ；n)(nn3）当 为偶数时， 。)0(|aa（2） 幂的有关概念规定：1） N*；2） ；nn( )(10n 个3） Q，4） 、 N* 且pap( manm,(n)1性质：1） 、 Q） ；rsrsr,0(s2） 、 Q） ；srsr,()(3）
2、Q） 。 rbabarr ,（注）上述性质对 r、 R 均适用。s（3） 对数的概念定义：如果 的 b 次幂等于 N，就是 ，那么数 称以 为底 N)1,0(且 abba的对数，记作 其中 称对数的底，N 称真数logba1）以 10 为底的对数称常用对数， 记作 ；10logl2）以无理数 为底的对数称自然对数， ，记作 ；)7182.(e Nelogln基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） ；0loga23） ；4）对数恒等式： 。1logaNalog运算性质：如果 则,0,0M1） ；Naaalogl)(l2） ；og3） R）nana(ll换底公式： ),0,1,0
3、logl NmaNma1） ；2） 。1logba bnaalog2指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数 称指数函数，)1,0(yx且1）函数的定义域为 R；2）函数的值域为 ；),0(3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数。10aa函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向左无限接近 轴，当 时，x10ax1a图象向右无限接近 轴） ；3）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称),0(a且 xxy与 y函数值的变化特征： 11a ，yx时 ，0时 1yx时 ，0yx时 ，时 ，1yx时3（2）对数函数：定
4、义：函数 称对数函数，)1,0(logaxya且1）函数的定义域为 ；2）函数的值域为 R；),3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数；104）对数函数 与指数函数 互为反函数xyalog)1,0(ayx且函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向上无限接近 轴；当 时，y10ay1a图象向下无限接近 轴） ；4）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称。),0(a且 xyxyaa1logl与 x函数值的变化特征：（3）幂函数1）掌握 5 个幂函数的图像特点2）a0 时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0 时过（0，
5、0）4）幂函数一定不经过第四象限1 ，0yx时 ，时 .1yx时 ，01yx时 ，时 .yx时4四 【典例解析】题型 1：指数运算例 1 （1）计算： ；25.02121325.032 6)3.0().()8()94(8 （2）化简： 。5323233214 )(aabab解：（1）原式= 41322132 )065(140)8()9478( ；9)7(105394 （2）原式= 51323123131231 )()()( ababa。2331653131312aba 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的
6、形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例 2 （1）已知 ，求 的值123x23x解： ，12 ，1()9x ， ，17x ，2()49 ，x又 ，31122()()3(7)18xx5 。23472318x点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型 2：对数运算（2）.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)幂函数 ()yfx的图象经过点1(,)8，则满足 ()fx27 的 x 的值是 .答案 13例 3计算（1） ；（2） ；2(lg)l50lg 3948(log2l)(log3l)（
7、3） 1.l236.l16l )(8解：（1）原式 2(lg)l5)gl(lg51)lg25；1()（2）原式 l2l3l2l3l()( ()g94g83lg2g ；3l56（3）分子= ；3)2lg5(l3g)2(llg(l 分母= ；4106ll103l)26(lg原式= 。43点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例 4设 、 、 为正数，且满足 abc22abc（1）求证： ；22log(1)log(1)（2）若 ， ，求 、 、 的值。4a83cabc
8、6证明：（1）左边 222logloglog()abcabcabc；2222()loglll1abc 解：（2）由 得 ，4l(1)a14bca 30abc由 得 82log()3238c由 得 由得 ，代入 得 ，cab22(4)0ab ， 0430由、解得 ， ，从而 。6810c点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型 3：指数、对数方程例 5(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中)已知定义域为 R 的函数 abxfx12(是奇函数.（1）求 a,b 的值；（2）若对任意的 t，不等式 0)2()(ktftf 恒成立，
9、求 k 的取值范围.解 （1） 因为 )(xf是 R 上的奇函数，所以 1,1, ba解 得即从而有 .21)(afx 又由 ff 24)1()知 ，解得 2（2）解法一：由（1）知 ,2(xx由上式易知 )(f在 R 上为减函数，又因 )(f是奇函数，从而不等式02(kttf等价于 ).2()(2ktfktft 因 x是 R 上的减函数，由上式推得 .2即对一切 ,3tt有 从而 31,014解 得解法二：由（1）知 ,2)(1xf又由题设条件得 02122 ktt即 )1)()( 22 11 ktkt 整理得 3t，因底数 21，故 32t 7上式对一切 Rt均成立，从而判别式 .31,0
10、124k解 得例 6 （2008 广东 理 7）设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ B ）a3axyeRA B C D313a13a【解析】 ，若函数在 上有大于零的极值点，即()axfex有正根。当有 成立时,显然有 ,此时()0axfe()0axfe0，由 我们马上就能得到参数 的范围为 .13lnx3点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型 4：指数函数的概念与性质例 7设 （ ）123,() (2)log().xef f ， 则 的 值 为，A0 B1 C2 D3解： C； ， 。)(l)(23f e
11、f)(10点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例 8已知 ),()(log1axfa且试求函数 f(x)的单调区间。解：令 tx，则 x= ，tR。t所以 tf)(即 xf)(， （ xR） 。因为 f( x)=f(x)，所以 f(x)为偶函数，故只需讨论 f(x)在0，+）上的单调性。任取 1， 2，且使 210，则)ff )(1122 xxaa2121x（1）当 a1 时，由 210x，有 210xa， 121x，所以 0)(12xff，即 f(x)在0，+上单调递增。（2）当 01 时，函数 y=logax 和 y=(1 a)x 的图象只可能是( )10A1oy xB1oy
12、xC1oy xD1oy x解：当 a1 时，函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a1 时， y=(1 a)x 为减函数。答案： B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例 14设 A、 B 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2与函数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于点 D。（1）求点 D 的坐标；（2）当 ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围解：（1）易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中点公式得 D(a+2, log2 )。4（2）S ABC=S 梯形 AA CC +S 梯形 CC B B- S 梯形 AA B B= log2 , )4(2a其中 A, B, C为 A,B,C 在 x 轴上的射影。由 S ABC= log2 1, 得 0bn+1bn+2。则以 bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1bn，即( )2+( )10，10a
