1、 按住 Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章 空间几何体 重难点解析第一章 课文目录11 空间几何体的结构 12 空间几何体的三视图和直观图 13 空间几何体的表面积与体积 重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。2、画出简单组合体的三视图。3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。知识结构：表面积 体积度 量空间几何体柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图 一、空间几何
2、体的结构、三视图和直观图1柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称
3、为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；
4、原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称 棱柱 直棱柱 正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交
5、线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点侧面的形状三角形 全
6、等的等腰三角形梯形 全等的等腰梯形对角面的形状三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称 特殊性质平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对
7、角线相等，交于一点，且被该点平分2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在
8、画直观图的纸上（平面上）画出对应的 OX,OY,使=450（或 1350） ，它们确定的平面表示水平平面；XOY画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线） 。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的
9、画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。例题讲解：例 1将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 分别是 三边的中点）ABC， ， GHI得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）C1D1B1A1 ODCBAEFDIAH GB CEFDAB C侧视图 1 图 2BEABEBBECBED例 2在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为棱 AA1， CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1， EF， CD 都相交的直线（ ）A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条例 3正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2，
10、点 M 是 BC 的中点，点 P 是平面 ABCD 内的一个动点，且满足 PM=2，P 到直线 A1D1 的距离为 ，则点 P 的轨迹是（ ）5A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线解析： 点 P 到 A1D1 的距离为 ，则点 P 到 AD 的距离为 1，满足此条件的 P 的轨迹5是到直线 AD 的距离为 1 的两条平行直线，又 ， 满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为圆心，半径为 2 的圆，这两种轨迹2M只有两个交点.故点 P 的轨迹是两个点。选项为 C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。例 4两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放棱长为 1 的正方体
11、内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形 ABCD 的面积，问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型 2：空间几何体的定义例 5长方体
12、 的 8 个顶点在同一个球面上，且 AB=2，AD= ，1ABCD 3，则顶点 A、B 间的球面距离是( )1A B C D242解析： 设12,BDACR2,则1,OBR故选.2,2l点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。例 6已知直线 m,n 和平面 满足 ,则( ), ,amn或 或.An/.nBC. ,/.nD解析：易知 D 正确.点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型 3：空间几何体中的想象能力例 7如图所示，四棱锥 的底面 是边长为 1 的菱形， ，PABD 06BCE 是 CD 的中点，PA 底面 ABCD， 。3（I）证明
13、：平面 PBE 平面 PAB；（II）求二面角 ABEP 和的大小。解析：解法一（I）如图所示 , 连结 由 是菱形且 知，,BDAC06BD是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点，所以C又 所以,BE ,/,又因为 PA 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 而 因此 平面 PAB. ,PA ,AB又 平面 PBE，所以平面 PBE 平面 PAB.（II）由（I）知， 平面 PAB, 平面 PAB, 所以E P.PBE又 所以 是二面角 的平面角,B EPAED在 中, RtPAB tan3,60.PAB故二面角 的大小为E60.解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相
14、关各点的坐标分别是(0),， ， (1),B， ， 3(),2C， ， 13(),2D， ， (3),P， ， (10).2E， ，（I）因为 平面 PAB 的一个法向量是 所以 和 共线.(,),E， 0(),n， ， B0n从而 平面 PAB. 又因为 平面 PBE，所以平面 PBE 平面 PAB. E（II）易知 设 是平面 PBE 的一个法向3(10,3)(0,),2PB， ， 11()xyz， ，量,则由 得 所以10nBE， 11302xyz， 113.yxz=0，故可取 而平面 ABE 的一个法向量是1(3).， ， 2().n， ，于是, 1212cos,.|nA故二面角 的大
15、小为BEP60.点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。例 8如图，在三棱锥 中， ， ， ，AC2B90ACPBAPCA（）求证： ；B（）求二面角 的大小P解析：解法一：（）取 中点 ，连结 ADC，PB，C，平面 APD平面 ，ACBPACBDPPCAB（） ， ，PB 又 ，又 ，即 ，且 ，90ACBCAPC平面 P取 中点 连结 E， 是 在平面 内的射影，CA是二面角 的平面角BC在 中， ， ， ，E 902B36EAB6sin3B二面角 的大小为 APC6arcsin3解法二：（） ， ，B 又 ，PC，A平面 平面 ，B（）如图，以 为
16、原点建立空间直角坐标系 CCxyz则 (0)(20)()AB， ， ， ， ， ， ， ，设 Pt， ，B， 2t(0)， ，取 中点 ，连结 APEC， ，CBPACBEPACBPzxyE， CEAPB是二面角 的平面角C， ， ，(01)， ， (01)， ， (21)EB， ，3cos6A二面角 的大小为 BPCarcos3点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例 9画正五棱柱的直观图，使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm。解析：先作底面正五边
17、形的直观图，再沿平行于 Z 轴方向平移即可得。作法：（1）画轴：画 X，Y，Z轴，使XOY =45（或 135） ，XOZ=90 。（2）画底面：按 X轴，Y轴画正五边形的直观图 ABCDE。（3）画侧棱：过 A、B、C、 D、E 各点分别作 Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 AA，BB ，CC ，DD，EE。（4）成图：顺次连结 A， B，C，D，F，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。例 10 是正ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 的面积B CBA为 ，那么ABC 的面积为_。3解析： 。62点评：该题
18、属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。例 11 如图，在棱长为 1 的正方体 中，AP=BQ=b（0b1） ，截面ABCDPQEF ，截面 PQGH AD （）证明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若 与平面 PQEF 所成的角为 ，求 与平E 45E面 PQGH 所成角的正弦值本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。解析：解法一：（）证明：在正方体中， ， ，又由已知可得ADABA B C
19、D EFP QHG， ， ，PFAD H PQAB所以 ， ，所以 平面 EF所以平面 和平面 互相垂直PQGH（）证明：由（）知，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截22FA，面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是，是定值()PQ（III）解：连结 BC交 EQ 于点 M因为 ， ，HAD B所以平面 和平面 PQGH 互相平行，因此 与平面 PQGH 所成角与 与平面CDE DE所成角相等B与（）同理可证 EQ平面 PQGH，可知 EM平面 ，因此 EM 与 的比值就ABC是所求的正弦值设 交 PF 于点 N， 连结 EN，由 知A 1Fb22(1)()DEbD ，因为 平面 PQEF， 又已知 与平面 PQEF 成 角， E45所以 ，即 ，2N 22(1)()b解得 ，可知 E 为 BC 中点1b所以 EM= ，又 ，2423(1)Db故 与平面 PQCH 所成角的正弦值为 E 26EMD解法二：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD分别为 x，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz 由已知得 ，故1Fb， ， ， ，(10)A， ， ()， ， (0)， ， (01)， ， ， ，Pb， ， Q， ， E， ，A BCDEFP QHyxzGA BCDEFP QHGN M
