1、坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1 ）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着xx交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和 轴平行或重合时，其倾斜角为 ，所以直线的倾斜角 的范xo0围是 ；oo180（2 ）直线的斜率：倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率，o9tank斜率是用来表示倾斜角不等于 的直线对于 轴的倾斜程度的。o0x每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 轴x时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应
2、考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 斜率计算公式：设经过 和 两点的直线的斜率为 ，),(1yxA),(2yBk则当 时， ；当 时， ；斜率不存在；2121tanxk21xo90二、直线方程的几种形式：（1 ）点斜式：过已知点 ，且斜率为 的直线方程： ；),(0yxk)(00xky注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 ；0 表示： 直线上除去 的图形 。kxy0 )(00xky),(0yx（2 ）斜截式：若已知直线在 轴上的截距为 ，斜率为 ，则直线方程： ；bbk注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。（3 ）两点式
3、：若已知直线经过 和 两点，且（ ） ，则直线),(1yx),(2 2121,yx的方程： ；1212注意：不能表示与 轴和 轴垂直的直线；xy当两点式方程写成如下形式 时，0)()(12112 xyyx方程可以适应在于任何一条直线。（4 ）截距式：若已知直线在 轴， 轴上的截距分别是 ， （ ）则直线方xyab,0程： ；1ba注意：不能表示与 轴垂直的直线，也不能表示与 轴垂直的直线，特别是不能xy表示过原点的直线，要谨慎使用。（5 ）参数式： （ 为参数）其中方向向量为 ，btya0 ),(ba； ),(22ab； ；abk2|batPo点 对应的参数为 ，则 ；21,21,t 2121
4、|batP（ 为参数）其中方向向量为 ， 的几何sinco0tyxt )sin,(cot意义为 ；斜率为 ；倾斜角为|oPta。)0(（6 ）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式： ；（ 不同时为零）0CByAxBA,；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数 是否为 0 才能确定。,指出此时直线的方向向量： ， ，),(AB),( ),(22BA（单位向量）直线的法向量： ；（与直线垂直的向量）),(BA三、两直线的位置关系：位置关系 2211:bxkyl 0:2211CyBxAl平行 ，且2
5、1212121重合 ，且21k21b2121CBA相交 21k21垂直 21 021BA设两直线的方程分别为： 或 ；当 或221:bxkyl:2211CyBxlA21k时它们相交，交点坐标为方程组 或121BA21bk解；02211Cyx注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如： ),(),(21BA对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如 0),(),(21BA若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。对于 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，021BA此公式使用起来更方便斜率相等时，两直线平行(
6、重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1） 到 的角：把直线 依逆时针方向旋转到与 重合时所转的角；它是有向角，其范l21l 2l围是 ； 0注意： 到 的角与 到 的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；1l22l1绕“定点”是指两直线的交点。（2）直线 与 的夹角：是指由 与 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，1l21l2它的取值范围是 ；0（3）设两直线方程分别为： 或2211:bxkyl0:2211CyBxAl若 为 到 的角， 或 ；1l212tan21tan若 为 和 的夹角，则 或 ；1l2 12tak21taBA当
7、或 时， ；021k021BAo9注意：上述与 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线 到 的角 与 和 的夹角 ： 或1l21l2)2(；)(五、点到直线的距离公式：设点 和直线 ，点 到 的距离为：),(0yxP0:CByAxl Pl；20|BACd两平行线 ， 的距离为：0:11yxl 0:22CyBxAl21|BACd；六、直线系：（1）设直线 ， ，经过 的交点0:11Cyxl 0:222CyBxAl 21,l的直线方程为 （除去 ） ；)(BAl如： ，即也就是过 与 的交点 除去01kxykxy 01yx)1,
8、0(的直线方程。0注意：推广到过曲线 与 的交点的方程为：),(1yxf),(2yxf；0)()21xff（2）与 平行的直线为 ；:CByAl 0CByAx（3）与 垂直的直线为 ；0:xl 七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 关于 的对称),(baA),(dcC点 )2,(bdac直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用 由点斜式得出直线方程；21/l、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线 关于点 对称的直线 的方程。0632:1yxl )1,(P2l（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。直线关于直线对称：（设 关于 对称）ba,l、若 相交，则 到 的角等于 到 的角；若 ，则 ，且 与 的距ba,llla/lb/a,l离相等。、求出 上两个点 关于 的对称点，在由两点式求出直线的方程。BA,l、设 为所求直线直线上的任意一点，则 关于 的对称点 的坐标适合),(yxPPlP的方程。a
