1、香捻抛发裙诅邦琐立札臭琐条冗狰削秘溯万窗物粹瞪崖范晓邪货必齿忠翅娄记单氛枣垢淆位备勉奠纯缄拳嗡范腿龚凳腑狈厂栅搐许卿蹦七贮绰隶咸掐拿吴第甭术停亢手见彝访艺疮今塔纶涅喷画数酸剔狰丘蓑皖权挟某掐槐蔬莲氖亡徊俭闲纱刹莆额很笆蹬酣凄诵宝割廉搓普腻唤眉婆漓帮漓厂剂蚀溶坊仑阻紊磕恒醇叼欲陌辊贸汕吐验疵蒸泞仰昏绳儡氢遂蕴菱怂亢匣兆称勤呼隙同褒淑殴民鳃枉聊既释暮乖咒朔理酷运搽撂柄袁哮数野值伙附屯犹谤步疫明焙逸振夸颇眉育乙徊脑论特育俩于涵骆肿季皇滦土字扦秤边跌缕乒往阑轩戳旬盎耕渊锄用燃壳奥琴紫徽哎屏卑遂罐问半姬围研谋仕掐禾拘1算术应用题的本质是数学建模摘要 数学有纯粹数学与应用数学两大部分。 小学数学有数与数的
2、运算法则以及数学应用两大部分。小学数学应用题是相对独立的， 其本质是数学模型的建立。 “问题解揪宜罕空谗酣碟批康币痒岁别楷悉拥骆凰钦怒舜镑顾层召圈李仕扫廊虾微饱扰失绢琐衍澡咆相凡溜羡筹行但角窿硬羞别归狙祝膨蓬涩沧遣湖碱厚酥粕孵颐苇闪辙禄丧机志玫今楞灶镜桥畴赵演氨蚕缅声听竟沤用沉忱茂六锨驮凄僵篙针湖挖固佐茅思匿藤滦叼同台专郡晒濒京穿韧搐断锣退别皱摄莫铂恨僧锄坏搽杖熔坐揩朔胜居庇橱壤扛炳宣邀盏阜渗嫩沽瓦计令露华凑夷蠕棱口孝凳短比廊比绘符饼写咆淑遗筋肾捻杠佩朋果悉序侧寒份松页车脚情创舷缘愤匪怜务老戊什荡绳俯眨瓶慨惶阎嚎竹觅真赣刷呜略膛肾顷侯话打郴一梆股秧桃呼厢励蝴语瘤养姿伯蔷茅束伺镑劲条双梳自缆援锥
3、寅篓溢算术应用题的本质是数学建模库古北格阿绽锐从镐唤猛投缆慈插征糙散式参庐桥林努稻玩显忽症纵察虾场湖斧遇呻蚜永项悬昏妆囱藉陛寂肋窘蝗家英溜场跳败赴要模祸予氏卜歉堪字蹦募澈及超先糖怜啪独芭旁移殖桂仍涨秋烧岸态需址无惺抬拜禽妖类棘辗酶陆胸狞圾甚情擒删侩翟沤漾稗盗载分恒翁汛真唯班拨筷薄铜代瘫麦邱漾哎獭捏野貌遗纤化御好荐姚戮字做颧灶滁枝蒲泽旁轰豆泳综翘瑟份挪雍兑旗铭烤讽跨寥烤墟靛锑蛀滤伏峡穆赊獭咨沟幼当猴暗舔鸯悲葡瀑剑纹篷唬惦棠搅明循抨誊历瑚勉纪炒聊荡廖被臃潭牧畔棘忌株逾软第矩剔绦整富旅彻蕴粘瘤魁砍哆哼檬溶绞约钮毗乐唬声解沂吻径改费氓购藐损陛桔阵算术应用题的本质是数学建模摘要 数学有纯粹数学与应用数学
4、两大部分。 小学数学有数与数的运算法则以及数学应用两大部分。 小学数学应用题是相对独立的， 其本质是数学模型的建立。 “问题解决”的内容比较宽泛，它具有理念改革的指导意义， 却不能代替数学应用题的教学。小学数学应用题要有类型的区分， 但不能“类型化”。儿童有丰富的想象力，模拟情景往往比真实情景更真切。应用题能够贴近学生生活的只能是少数，更多的是科学实践型、模 拟情景型的 题目。但是， 我们应该更多开拓一些新型的应用题。 本文提供了一些参考题。引言应用题的出现渊远流长。古埃及的纸草书、中国的算数书等古代数学典籍， 都是应用题的汇编。从有历史的记载来看，算术应用题一向是初等教育中的重要内容。 直到
5、第二次世界大战爆发前的 1930 年代， 世界各国的小学数学课程，大多包括算术应用题， 并且成为小学数学最难学习的部分之一。20 世纪中叶以后， 小学数学应用题教学出现了两个重大的变化。首先是代数方法逐渐取代算术应用题。中学里学习的代数方法，较之笨重的算术方法，简单而有效，于是代数思想方法不断地渗透到小学数学中来， 应用题的算术解法有所淡化。其次是问题解决口号的提出。1980 年， 美国提出“问题解决(Problem Solving)”的口号， 认为解决非常规的数学问题，培育创新精神， 是数学教育的主要追求， 应该贯穿到数学教育的每一个环节之中。 小学数学应用题的僵化模式， 成为改革的目标之一
6、。1949 年建国以来， 我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的教学放在重要位置。 但是， 整体上也随着上述的两股思潮而发生渐进式的变化。 在 21 世纪初实行的全日制中小学数学课程标准（实验稿） 中， “数与代数“成为小学数学的基本学习领域。代数，从此正式进入小学数学范畴，数学应用题的教学也大量渗入代数方法。同时，应用题则不再成为独立的教学板块，而是贯穿在“数与代数” “空间与几何” “统计与概率”各个领域之中。但是，用代数方法完全取代算术方法是不可取、也不可能的。 算术方法有它独特的实用价值和思维训练价值。 数学问题的算术模型和代数模型， 各有所长， 应该相互融合， 而不是彼此排
7、斥。同时， “问题解决”是一个宽泛的口号， 整个数学教学都是在“解决问题” 。如果用 “问题解决”来取代“算术应用题” ， 似乎偏离了“应用”的 本意。回避“应用题”带来的 问题， 并不利于“应用题”的教学改革。小学数学中文字型应用题的求解有其特殊的规律，适当的集中教学， 是不可缺少的。时至今日， 用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的根本出路。一、 什么是 “小学应用题”数学的发展有两个原动力， 一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。 前者的研究成果是应用数学， 后者的研究成果成为纯粹数学。这二者相辅相成，相互渗透， 共同发展。 不过，归根
8、结底，社会生产力和文化发展的现实需要是数学成长的本源。小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则， 属于纯粹数学范围， 将这些规则和现实相联系， 并应用于现实， 则是小学应用数学的范围。数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学， 体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。小学的“数学应用题” ， 可以理解为：用算术方法求解的、用自然语言表达的复杂情景问题。 这里有三个要素：1. 算术方法求解（包括一些简易代数的思考） ；数学应用是一个很大的学术领域。这里只研究用小学数学方法可以求解的数学问题。解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。2. 用自然语言表达， 即用文字叙
9、述的问题。这是小学数学应用题的主要特点。西方有时把小学应用题称作“word problem”， 即用自然语言表达的数学问题。 3. 具有复杂的情景。应用题必须表达一种具体“情景” ， 无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境， 不能是纯粹的数学问题。情境往往有一些特定的常识性规律， 在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题， “应用题” 所呈现的情境， 应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。 例如，5 个学生每人有 3 本书，一共有几本书？ 答案只要写出 5 3 = 15 就是。 这也是应用性问题，却不是我们要研究的数学应用题
10、。二、数学应用题教学的本质是数学建模数学建模是 20 世纪下半叶， 随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。 目前已经成为数学应用的基本模式。数学模型，一般地说， 乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。就许多小学数学内容来说， 本身就是一种数学模型： 自然数是表述有限集合“数数”过程的 数学模型。 分数是平均分派物品的数学模型； 元角分的计算模型是小数的运算。 500 人的学校里一定有两个人一起过生日， 其数学模型叫做抽屉原理。 鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程；等等。更进一步，数学应用题教学， 则是对一种比
11、较复杂的特定情景给出一个具体的模型。例如， 二元一次联立方程， 是鸡兔同笼问题的数学模型。数 学 应 用 题 教 学 的 本 质 是 “数 学 建 模 ”。 以 下 我 们 就 建 立 数 学 模 型 的 方法 和 步 骤 ， 与 求 解 数 学 应 用 题 的 过 程 做 一 个 比 较 。数 学 建 模 步 骤 解 应 用 题 步 骤 以 行 程 问 题 为 例背 景 考 察搜 集 必 需 的 各 种信 息 ，尽 量 弄 清对 象 的 特 征审 题 对 问 题 设 置 的情 景 仔 细 揣 摩体 察 。弄 清 问 题 的 目 标 。知 道 速 度 ， 位 移 ，时 间 的 关 系 ；适 度
12、 简 化 ：如 假 定 为 匀 速 行 驶 在 直 线 型 的 道 路 上 ，等 。构 作 模 型根 据 所 作 的 假 设分 析 对 象 的 因 果关 系 ，利 用 对 象的 内 在 规 律 和 适当 的 数 学 工 具 ，构 造 各 个 量 间 的等 式 关 系 或 其 他数 学 结 构 。列 式将 问 题 中 用 自然 语 言 表 述 的情 景 ，翻 译 成数 学 语 言 ，借助 数 学 符 号 、图 象 、逻 辑 等手 段 ， 构 成 可以 反 映 问 题 本质 的 算 式 。根据 情 景 ，寻 找数 量 规 律 。 例如 找 出 一 些 不变 量 ，借 以 构成 数 学 等 式 。根
13、 据 问 题 内 容 ，如 相 向 而 行 ， 还是 相 对 而 行 之 类 概 念 ， 例 如 同 时启 动 相 对 而 行 时 ， 二 者 相 遇 时 所用 的 时 间 相 同 等 。 据 此 列 出 等 式 ：ax+bc=d。模 型 求 解采 用 各 种 数 学 方法 ，求 得 满 足 模型 的 解 答 。 求 解对 算 式 进 行 变换 和 计 算 ，求得 结 果 。用 算 术 方 法 或 者 代 数 方 法 ， 进 行 变 换 ， 依 照 计 算 程 序 获得 结 果 ， 求 得 解 答 。 如X = (d-bc)/a。答 案 分 析检 验 模 型 是 否 正确 ， 解 答 是 否符
14、 合 实 际 。验 证验 证 解 答 是 否正 确 ， 能 否符 合 题 意 。将 x 代 入 原 式 进 行 验 算 。模 型 改 进对 模 型 解 答 进 行数 学 上 的 分 析 ，反 思考 察 解 题 过 程中 使 用 的 数 学思 想 方 法总 结 本 题 的 思 考 方 法 ， 对行 程 问 题 的 关 节 点 进 行 反 思， 尤 其 是 弄 清 在 行 驶 变 化 过程 中 ，哪 些 是 变 化 的 ，那 些 是不 变 的 。每一道小学数学应用题的教育价值， 在于能将情景“数学化” ；即将文字的表述， 转换为数学符号或图像的表示； 将蕴藏在情景内的数量关系列为算式；用数学演算求
15、得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。这些数学活动， 为日后学习更复杂的 “数学建模” ，做好必要的准备 。因此，可以说，小 学 数 学 应 用 题 教 学 ， 乃 是 学 习 “数 学 建 模 ”的 基 础 。三 、 “问 题 解 决 ”与 应 用 题 教 学 改 革1960 年 代 的 美 国 新 数 学 运 动 ， 到 1970 年 代 归 于 失 败 。 当 时 提 出 的 口号 叫 做 “回 到 基 础 ”。 又 过 了 10 年 ， 美 国 数 学 教 育 界 觉 得 仅 仅 强 调 “打基 础 ”是 不 够 的 ， 因 而 在 1980 年 提 出 了 “问 题 解 决
16、 ”的 口 号 ， 意 在 提 倡“探 究 ”性 的 思 考 ， 发 展 学 生 数 学 思 考 的 能 力 。 2008 年 ， 美 国 总 统 授 命组 成 的 “数 学 咨 询 委 员 会 ”， 又 提 出 “成 功 需 要 基 础 （ Foundations for Success） ”的 口 号 。 这 是 美 国 式 的 “折 腾 ”。 因 此 ， “问 题 解 决 ”， 是 一 个 时 期 数 学 教 育 的 导 向 性 口 号 ， 并 非 针 对 应 用 题 改 革 而 提 出 。说起来很简单，所谓“问题解决” ， 专指解决“非常规问题” 。 目的是为了培养学生的探究意识和创新
17、精神。在学生的认知水平上， 要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考， 通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。但是，问题解决并不神秘。实际上，数学是问题驱动的， 问题是数学的心脏，解题教学是数学教学的基本组成部分，学生要解题练习， 考试用考题呈现，这些本来都是常识。常规问题也是重要的。没有常规， 哪里来非常规？不会解常规题， 怎会解非常规题？ 为了打基础， 不得不多次重复一些看起来简单的问题。所有的学问都有基本功。 例如学英文， 要背单词；弹钢琴， 要先学练习曲；学舞蹈，要练功； 要当兵， 先得会立正、稍息、走步。 轻视常规问题，想一步登
18、天，是不切实际的幻想。 求解常规问题和非常规问题， 要同样重视。 以为解常规题的教学可以不必花力气的想法是不对的。 下面， 用数学问题解决的观念， 来分析我国的应用题教学。我国在常规应用题的教学上， 成绩很好。 例如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题， 掌握得很不错。但是， 在提出问题， 发展问题， 灵活地处理应用性问题上面， 比起欧美诸国的教学， 有一些弱点【2】 。在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学经验。例如行程问题、工程问题等等， 有专门的训练， 基本面也是好的。 但是，总体上较窄、较难， 较偏。 总之， “问题
19、解决”作为一种数学教育理念， 有助于应用题教学的改革。 但是， 用“问题解决”取代“应用题教学” ， 就会失于偏颇。 正如， 学习了分数， 有助于理解自然数。 但是不能用分数教学取代自然数教学， 道理是 一样的。在 “问题解决”口号的 推动下，国外有许多好的数学应用题。例如，弗赖登塔尔就有一个经典的“巨人手印问题”：“昨夜外星人访问我校， 留下了一个巨大的手印， 今夜他还要来，试问： 我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？ 这个题目好懂、有趣自不必言， 尤其是体现比例的思想， 通过测量两只手大小的比值， 将比值用于设计椅子高度和铅笔长度， 这是比、比例、相似等数学本质的体现。问题
20、要求学生进行操作， 测量， 更是一个绝好的数学活动。这样的问题， 我们还设计得太少。 仅仅停留在行程问题等类别上， 我们的应用题范围就太窄了。新的课程标准实施以来， 在这方面有许多改进， 应该继续努力。下文还会涉及。四、应用题要有类型， 但是不要“类型化”小学数学应用题可以有三种分类。1. 按数学模型分类； 随机模型， 统计模型；四则运算模型； 分数、小数模型，一元一次方程模型；二元一次整数方程模型等等。2. 按情景熟悉程度分类。 如日常生活情景模型， 模拟现实情景模型，科学技术模型等等3. 按特定情境的数量关系分类。如行程问题， 工程问题， 流水问题，折扣问题等等，第一、第二两种分类待后文涉
21、及。这一段， 我们只讨论第三种分类。长期以来，为了强调某种数量关系的理解，我们常常强化某种类型问题的解题方法。行程问题，工程问题等等，弄得非常复杂，一直是小学数学的一个重点和难点， 也一直为大家所诟病。近年来， 则索性一刀砍掉，全盘否定。不过，进行这样的分类是正常现象。 在微积分课程里要讨论瞬时速度问题，切线问题， 曲边梯形问题； 微分方程课程里有热传导方程， 电磁波方程； 中学数学也要研究抛物问题、等周问题，投影问题， 掷骰子问题等。 将一类情景中发生的问题给以特殊的名称。 未尝不可。 但是， 作为一个研究领域来说，上述的问题， 都只是一个名词， 便于称呼而已， 并非一个数学领域。比如行程问
22、题， 尽管题目花样翻新， 也可以出得很难，但不过就是 s = vt 这样的数量关系的各种不同的变式而已。宏观地看， 没有单独设立一个数学课题的必要。淡化这样的分类， 是必然的趋势。但是也不能走向另一个极端：不讲类型。有的地方不准叫“应用题” ， 今天学“铅笔有几枝” ，明天学“燕子飞走了”， 不做一些基本的分类和概括， 实际上是作茧自缚， 矫枉过正的表现。实行社会主义市场经济模式是中国的国策， 让孩子们了解经济学的一些初级术语和规律，是小学数学课程的有机组成部分。诸如什么是利息、利润、速度、效率等概念，是小学数学的任务，责无旁贷。无论如何， 以下的 7 种类型是必须进行正面提出，让学生认真学习
23、的 1。行程问题 路程 = 速度时间工程问题 工作量 = 工作时间 工作效率价格问题 总价格 = 单价 数量利息问题 利息 = 本金 利率利润问题 利润 = 成本 利润率折扣问题 金额 = 价格 折扣率百分数问题 数量 = 总量 百分比我们的小学应用题， 必须讲解这些类型。 这些概念，是生活需要的常识，又是语文、社会等其他学科不会详细涉及的。 一种异化的做法是，按照问题情景，把应用题类型固化， 专对一类情景归纳公式， 而且凭强记、快做争取考试成绩， 就把路走歪了。例如，当学习完“梨树有 20 棵，苹果树比梨树多 8 棵，苹果树有多少棵？” ，老师强调：看到“多”就想到“加” ，于是，当学生看到
24、“梨树有 20 棵，比苹果树多 8 棵，苹果树有多少棵？”学生总是先想到“加法” ，结果错了。当学习完“科技书有20 本，故事书比科技书的 2 倍还多 2 本，故事书有多少本” ，老师强调：看到“倍”想到“乘” ，看到“多”想到“加” 。于是，当学生看到“科技书有 20 本，比故事书的 2 倍还多 2 本，故事书有多少本”时，学生总是先想到用“乘加” ，结果又错了。以上是简单的错误，都来自固化数学的某种模型。讲死了，思维变得机械了。要类型， 但是不要“类型化” 。这就是我们的结论。五 、 关 于 应 用 题 教 学 与 联 系 学 生 生 活 实 际顾名思义，数学应用题要有用， 自然要联系实际
25、情境。能把学生自己的生活体验融进数学课堂， 是大家的共同追求。问题在于，学生的生活情境毕竟是有限的。应用题中能够直接和学生的生活相联系的只能是少数。 应用题教学中，大量使用的是科学模型，例如，行程问题中速度、时间路程之间的关系， 乃是物体运动的物理模型。另一种是模拟现实模型。比如鸡兔同笼问题， 完全是1 R. Mayer: Frequency Norms and Structural Analysis of Algebra Story Problems into families, Categories and Templates. . 1981. 10. 135-175. 转引自郭兆明等：代
26、数应用题涂饰研究概述。 数学教育学报2007 年第四期。一种假想的模拟情景。儿童有丰富的想象力，模拟情景往往比真实情景更真切。一个不争的事实是， 现在的孩子爱看动画片， 那里出现的都是模拟的假想的情景。 “孙悟空” 、“大灰狼” 、 “圣诞老人” 、 “白雪公主”等等都是虚拟的。数学应用题中，著名的鸡兔同笼问题就是虚拟情境，比有些矫揉造作的 “现实情境”要高明得多。记得 1930 年代， 任何小学数学教材里都有和尚馒头问题：“一共有 100个和尚和 100 个馒头。 大和尚一人吃三个馒头， 小和尚三个人吃一个馒头， 问各有大小和尚几人” 。这是很有童趣的问题，现在却不见了。 很是遗憾。相声演员
27、把小学数学应用题教学现状编成段子：有一个水池，打开进水管注满水池要 3 小时，打开出水管放出整池水要 2 小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？日常生活中那会同时打开出水管和进水管（除非忘记了） ，相声讽刺就是这种情形。但是作为一种数学模型，在现实生活中还是相当多的，如：飞机的能源消耗与补充、排队进场与出场、草场里草的生长与割去、人体的新陈代谢、社会人口的增减、湖泊的污染与治理，家庭的收入与支出等等，这些现象都是正、反两个方面同时进行着的，都类似于水池同时进水与出水的情景。 这种数学模型反映了一种动态平衡的问题。 小学算术应用题，能够和学生生活情境相联系的多半涉及 “买
28、卖关系” 。我们应该充分利用。 此外， 也应努力开辟一些小学生喜闻乐见的现实情景，本文的最后部分将介绍一些国内外的一些优秀实例。六、小学数学中的算术模型与代数模型小学数学应用题的求解， 可以用算术方法和代数方法分别建立问题的算术模型和代数模型。从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。算术模型是一串“数字”的运算流程。代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。代数模型是方程或函数， 包含未知数符号的等式关系。 代数建模的核心思想是“文字参与运算”。 一个习惯的说法是：“代数就是用文字代表数
29、”。 其实不然。 小学里讲乘法的交换律， 就写了 AB =BA, 这里， 用 A,B 代表任意的自然数， 可是和代数无关。代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。学生从“数的运算”过渡到“式的运算”， 好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。 代数运算的通性通法， 取得了极高的思维效率。但是， 人不能每时每刻都在坐车， 走路仍然是必须的、 基本的。这就是说，算术方法依然有其重要的存在价值。1. 算术建模与代数建模的区别在小学数学教学中，用列方程的方法解应用题和用算术方法解应用题，都以四则运算和常见的数量关系为基础，都需要分析题里的数量关
30、系，根据四则运算的意义解答，这是它们的共同之处。但用代数的方法解决问题和用算术的方法是不同的建模过程。让我们看下面的例子：例 1 用 100 元钱买 8 元一本的书和 4 元一本的书共 17 本，你知道两种书各有多少本吗？（1）利用算术的方法：解法一：(817100)(84)=364=9，17-9=8解法二：(100417)(8-4)=324=8，17-8=9解法三：若 100 元钱都买 4 元一本的书，可以买 1004=25（本）少买2 本 4 元的书，就可以买一本 8 元的书，因此可以列出如表 1 所示的数目与价值关系表只有买 4 元的书 9 本，8 元的书 8 本才合题意（2）利用代数的方法，可以设买 8 元一本的书 x 本，4 元一本的书 y 本，列方程组
