1、第 5 章 连续时间信号的抽样与量化5.1 试证明时域抽样定理。证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为 nsTTtt)()(由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为： )(21)(TsFnss式中 )(F为原信号 )(tf的频谱， )(T为单位冲激序列 )(tT的频谱。可知抽样后信号的频谱 s由 以 s为周期进行周期延拓后再与 s1相乘而得到，这意味着如果 ms2，抽样后的信号 )(tfs就包含了信号 )(tf的全部信息。如果 ms2，即抽样间隔 sfT1，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。 因此必须要求满足 msfT21， )(t才能由 )(
2、tfs完全恢复，这就证明了抽样定理。5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：（1） )50(tSa （2） )10(2tSa（3） )1(t（4） )6(2t解：抽样的最大间隔 msfT2称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率 msf称为奈奎斯特速率，最低采样频率 s称为奈奎斯特频率。（1） )50()(50)( utSa，由此知 sradm/50，则 25mf，由抽样定理得：最低抽样频率 2msf，奈奎斯特间隔 1sfT。（2） )01()10(2tSa脉宽为 400，由此可得 sradm/20，则 10mf，由抽样定理得最低抽样频率20msf，奈奎斯特间隔 2sfT。（3） )50()(
3、5)( utSa，该信号频谱的 sradm/50110,该信号频谱的 1)()(tt信号频谱的 sradm/,则 mf，由抽样定理得最低抽样频率 2msf，奈奎斯特间隔 10sfT。（4） )()10()10( utSa ,该信号频谱的 10m262t，该信号频谱的 sradm/120所以 )0()1(tSat频谱的 /, 则 6mf，由抽样定理得最低抽样频率 2msf，奈奎斯特间隔 120sfT。5.3 系统如题图 5.3 所示， )()1tSat， )20(2tSatf，nTttp)()(， (21tftf， tpftfs。（1）为从 tfs中无失真地恢复 )tf，求最大采样间隔 maxT
4、。（2）当 max时，画出 (s的幅度谱 )(sF。)(1tf tf时域相乘 时域抽样)(2tf )(tp)(tfs题图 5.3解：（1）先求 )(tf的频谱 )(jF。 )10()10(0)(1 uuSatf)20()20(1)()20()22 uujFtSatf )30()10()30()10()10(20 334 )2()2(1)()(16 uuuujjjF由此知 )jF的频谱宽度为 6，且 sradm/，则 Hzfm5，抽样的最大允许间隔 sfTm302ax（2） nttp)()(，所以为用冲激序列对连续时间信号为 )(tf进行采样，设原输入信号 tf的频谱密度为 (F，而单位冲激序列
5、的频谱密度为：nsTp)2)其中 Ts2则根据频域卷积定理得抽样信号 (tfs的频谱为： nss FTpF)(1)(*21)而 maxT，则 srads /603max，幅度谱如下图所表示。5.4 对信号 )()(tuetf进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为： jjF1)(其幅度频谱和相位频谱分别为21)(jFarctn单边非因果指数函数的波形 )(tf、 幅度谱 )(j、相位谱 )(如下图所示，其中1a。 单边指数信号的波形和频谱显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后的频谱是将原信号
6、频谱以抽样频率 s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的 sT1而得到。图略。5.5 题图 5.5 所示的三角形脉冲，若以 20Hz 频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的时域波形如何？以图解法说明。题图 5.5 解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。由此可知，脉宽为 幅度为 E的三角形脉冲其频谱为 2)4(SaE。其波形如图所示。02()Xj48480 50-50 t/msx(t)三角函数的频谱在 )(tx中， sm1.0易求得 )(tx的频谱为：25(.ESajX在 )4为 整 数k处， )(jX为零，图略。由频域卷积定理，抽样信号的频谱为： ns
7、ssjTjX1)(其中 Hzfs05.2， sradfss /402。抽样后的频谱是将三角形频谱以 s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的 sT1，可见发生了频谱混叠现象。5.6 若连续信号 )(tf的频谱 )(F是带状的 )(21 ，利用卷积定理说明当 12时，最低抽样频率只要等于 2就可以使抽样信号不产生频谱混叠。证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为 )(1)(TsnssnsFTw12*抽样后的频谱是以抽样频率 s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的 sT1。由于频谱)(F是带状的且 12，所以当 2s时频谱不会混叠。5.7 如题图 5.7 所示的系统。求：（1）求冲激响应函数 )(th
8、与系统函数 )(H；（2）求系统频率响应函数 ，幅频特性 和相频特性 )(，并画出幅频和相频特性曲线；（3）激励 )()(Ttutf，求零状态响应 )(ty，画出其波形；（4）激励 0ns ntftf，其中 为奈奎斯特抽样间隔， )(nTf为点上)(tf 的值，求响应 )(ty。题图 5.7解：（1）由图可知 tuTtfty*两边求拉氏变换可得 seFsYT1所以 seHT1（2）图略（3） )(tf的拉氏变换为 seFT1零状态响应得拉氏变换为 2seHYT求拉氏反变换可得 tuttuTty2（4）由 seHT1可得 tth)(而 TtunTtftftysnss *0ttuf ssns0延迟 T+-)(ty
