1、充分条件与必要条件1. 定义： 对于“若 p 则 q”形式的命题：若 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 p q，但 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；若 且 ，则 是 成立的必要不充分条件；若既有 p q，又有 q p，记作 p q，则 p 是 q 的充分必要条件（充要条件）.若 且 ，则 是 成立的既不充分也不必要条件从集合的观点上关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断 p、 q相应的集合关系建立与 、 相应的集合，即 :pAx成立 ， :qBx成立 若 AB，则 是 的充分条件
2、，若 B，则 p是 成立的充分不必要条件；若 ，则 p是 q的必要条件，若 ，则 是 成立的必要不充分条件；若 ，则 是 成立的充要条件；若 A B 且 B A，则 是 成立的既不充分也不必要条件例 1 已知 p：x 1，x 2 是方程 x25x60 的两根，q：x 1x 25，则 p 是 q的 A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解 x 1，x 2 是方程 x25x60 的两根 x 1，x 2 的值分别为 1，6，x 1x 2165因此选 A变式 1 设命题甲为：0x5，命题乙为|x2| 3，那么甲是乙的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既
3、不充分也不必要条件例 2 p 是 q 的充要条件的是 Ap：3x25，q：2x 35Bp：a2， b2，q：abCp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp：a0，q：关于 x 的方程 ax1 有惟一解解 对 Ap：x1，q：x 1，所以，p 是 q 的既不充分也不必要条件；对 Bp q 但 q p，p 是 q 的充分非必要条件；对 Cp q 且 q p，p 是 q 的必要非充分条件；对 且 ， 即 ， 是 的 充 要 条 件 选 D说明：当 a0 时，ax 0 有无数个解例 3（ 29年北京） “ 2()6kZ”是“ 1cos2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充
4、要条件 D既不充分也不必要条件分解：当 2()6k时， 1cos24cos32k，w 即pq反之，当 1cos时，有 6kZ，或 236kkZ，即 q p综上所述， “ 2()”是“ 1cos2”的充分不必要条件，故选 A变式 3 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 A0a1 Ba 1Ca 1 D0a1 或 a0例 4（2008 福建)设集合 1xA, 03Bx,那么“ mA”是“mB”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断解： 01Ax， A
5、B.故选 A例 5已知 p： ，q： ，若 p 是 q 的一个充分不必要条件，求 m40xm20x的取值范围解：由 p： 得 ；由 q： 得 或x4x2x1x2p 是 q 的一个充分不必要条件，只有 p q 成立， ，4m4变式 5 已知命题 p： 123x，命题 ： 2210x，若 p是 q的充分不必要条件，求实数 m的取值范围例 6 已知命题 p： 210x有两个不等的负根，命题 q：24xmx10 无实数根若命题 与命题 q有且只有一个为真，求实数 m的取值范围分析：对命题 p和命题 q的条件进行化简可得 m的范围，再对 p、 q的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出 的取值范
6、围解：方程 210xm有两个不等的负根， 40，解得 .方程 2xx10无实数根， 16m，解得 3m.若命题 p为真，命题 q为假，则 21或 ，得 3.若命题 为假，命题 为真，则 3m，得 2.综上所述，实数 m的取值范围为 12或 变式 6 命题 p：关于 x 的不等式 对一切 恒成立； 240axxR命题 q：函数 在 上递增()aflg(0,)若 为真，而 为假，求实数 的取值范围。q【解释】变式 1 解 解不等式|x2|3 得1x50x5 1x5，但1x5 0x5甲是乙的充分不必要条件，选 A变式 3 解：用排除法解之当 a1 时，方程有负根 x1，当 a0 时，x 故 排 除
7、、 、 选 2ABDC解 常 规 方 法 ： 当 时 ， 0x2当 a0 时1x21 02a0a ， 则 至 少 有 一 个 负 实 根 24a1aa102 ， 则 至 少 有 一 个 负 实 根 2a综上所述 a1即 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 a1变式 5 解：记 1203xAx，2010Bxmmx p是 q的充分不必要条件， 是 的充分不必要条件，即 BA.012m，解得 3.所以实数 的取值范围是变式 6 解：命题 p：关于 x 的不等式 对一切 恒成立；240axxRpT ，即240a命题 q：函数 在 上递增；qT()afxlg(,)1 为真，而 为假，pq 一真一假ppqp 真 q 假时，pT ；qF ;212ap 假 q 真时，pF ；qF ;a或
