1、充要条件教学目标（一）教学知识点 （二）能力训练要求1充要条件的概念 1理解并掌握充要条件的概念2判断命题的条件的充要性的方法 2掌握判断命题的条件的充要性的方法3把充要条件的思想自觉地运用到解题之中 3培养学生简单的逻辑推理的思维能力教学重点1理解充要条件的意义 2命题条件的充要性判断教学难点命题条件的充要性判断教学过程复习回顾1、什么是充分条件和必要条件?2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?（1）若 a 是无理数，则 a5 是无理数（2）若 ab，则 ac b c（3）若一元二次方程 ax2bxc0 有两个不等的实根，则判别式 0讲授新课1.2.2 充要条件一般地，如果既有 pq
2、，又有 q p，就记作：“p q”， “ ”叫做等价符号， “pq”表示“pq，且 q p”这时 p 既是 p 的充分条件,又是 q 的必要条件,则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件命题（1）中因：a 是无理数 a5 是无理数，所以“a 是无理数”是“a5 是无理数”的充分条件；又因“a5 是无整数 a 是无理数”则“a 是无理数”又是 “a5 是无理数”的必要条件，因此， “a 是无理数”是“a 5 是无理数”的充分必要条件命题（2）中因“ab ac bc” ，又有“acb cab” ，则“ab”是“acbc”的充要条件命题（3）中因：“一元二次方程 ax2bxc0 有两个不等实根
3、0” ，又有“0” “一元二次方程 ax2bxc 0 有两个不等实根 ”则“一元二次方程 ax2bxc0 有两个不等实根”是“判断式 0”的充要条件例 1 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件（1）p：b0， q：f(x) ax2bx c 是偶函数；（2）p：x0,y0， q：xy0；（3）p：ab， q：ac b c ；（4）p：两直线平行； q：两直线的斜率相等.命题（1）中因“（x2） （x3）0 x2 或 x3 x20” ；而“x20 （x2） （x3）0” ，所以 p 是 q 的必要而不充分条件命题（2）中因“同位角相等 两直线平行” ，所以 p 是 q 的充要条件命题（3）中因
4、“x3 x29” ，而“x29” x3” ，所以 p 是 q 的充分而不必要条件命题（4）中因“四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形 四边形的对角线相等 ”所以 p 是 q 的既不充分又不必要条件命题（5）中因：p：x 32xx2 x（ 2x）0，解得 x0 或 x3；q：2x3x2 得x1 或 x3则有 p q 且 q p所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定例 2.已知 p、q 是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件问：（1）s 是 q 的什么条件？（2）r 是
5、q 的什么条件？（3）p 是 q 的什么条件？ 例 3. p：xx|1x3， q：x x|a x a2+1 ，若 p 是 q 的充分条件，求 a 的取值范围. 解由“xM 或 xP ”可得“xP ”，又由“xMP” 可得：xx2x3则由 xP，即 xxx3 xx 2x3但由“xx2x3 xx x3，即xP故“xM 或 xP ”是“xMP ”的必要而不充分条件例 4 求证|a|b|a b|的充要条件是 ab0.分析：充分性即证：xy0 xyxy必要性即证：xyxy xy0证明：充分性若 xy0，则有 x0 或 y0 或 x0 且 y0此时显然xyxy若 xy0，则 x，y 同号当 x0 且 y0
6、 时，xyxyxy当 x0 且 y0 时，xyxy（x）（y）xy综上所述，xy0 xyxy必要性xyxy，且 x，yR（xy）2（xy）2即 x22xyy2x22xyy2xyxy xy0因此xyxy xy0故 xy0 xyxy评述：证明“p 的充要条件是 q”时，即等价于“q 是 p 的充要条件” 也就是需证明充分性：q p；必要性 p q 不能颠倒证反” 注：本题也可用绝对值的概念证明：xyxyx y2 （xy）2x2 2xy y2x22xyy2xy xyxy 0故 xy0 xyxy例 5、已知圆 o 的半径是 r，圆心 o 到直线 l 的距离为 d.求证：d=r 是直线 l 与圆 o 相
7、切的充要条件.课堂小结：1.p 是 q 的充分条件包括两种可能，即 p 是 q 的充分不必要条件或 p 是 q 的充要条件；同样，p 是 q 的必要条件也包括两种可能，即 p 是 q 的必要不充分条件或 p 是 q 的充要条件.2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断 p 是 q 的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.充要条件作业1、指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件（在“充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件”
8、 “既不充分又不必要条件”中选出一种）?填写序号（1）p：（x2） （x3）0，q：x20（2）p：同位角相等，q：两直线平行（3）p：x3，q：x 2q（4）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形（5）p：x 23x+4，q：x 4x3答案: (1) _(2)_ (3) _ (4) _ (5)_2、设集合 Mxx2，Px x3，则“xM 或 xP”是“xM P”的什么条件?3、若已知 A 是 B 的充分条件，C 是 D 的必要条件，而 B 是 D 的充要条件，则 D 是 C 的_条件；D 是 A 的_条件；A 是 C 的_条件，D 是 B 的_条件4、已知 p：5x23，q： 5412x0则 p 是 q 的什么条件?解： p：5x23，即： x1q：5x1，则 pq；而 q p则 p 是 q 的充分而不必要条件评述：要注意准确把握一个命题的否定特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常用5、证明：三角形 ABC 三边为 a,b,c, 三角形 ABC 是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc
