1、1全等三角形培优竞赛训练题1、已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接EG，CG 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ FBA DCEG图 1FBA DCEG图 2FBACE图 3D22、数学课上，张老师出示了问题：
2、如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交正方形外角 的平行线 CF 于点 F，求证：90AEF DCGAE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则AM=EC，易证 ，所以 MEF AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B， C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长
3、线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE= EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 333、已知 中， 为 边的中点，RtABC 90CD， ， AB90EDF，绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、EDF 当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易证DEA12FCABCSS 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是和否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关DEFS C AB系？请写出你的猜想
4、，不需证明AEC F BD图 1 图 3ADFEC BADBCE图 2F44、在 ABC 中， 2120ABC， ， 将 ABC 绕点 顺时针旋转角 (09)得 1 ， 交 于点 E， 1分别交、于 DF、 两点（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1与 F有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECF1 1ADBECF1 1（2）如图 2，当 30时，试判断四边形 1的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求 的长55、如图 9，若 ABC 和 ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE， AMN 是等边三角形（1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图
5、 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4 分）（2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时， ADE 与 ABC 及 AMN 的面积之比；若不是，请说明理由 （6 分）图 9 图 10 图 11图 866、点 C 为线段 AB 上一点，ACM, CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN 交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）CEF 为等边三角形。（3）将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变， （1）中的结论是否依然成立？(只
6、回答不证明 )，（4）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化， （只回答不证明 )。OOFEABA BNCMMCNFE77、问题：已知 中， ，点 是 内的一点，且 ，ABC 2ACBDABC ADC探究 与 度数的比值BD请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当 时，依问题中的条件补全右图90观察图形， 与 得数量关系为_；AB当退出 时，可进一步推出 的度数为_； 15CDBC可得到 与 度数的比值为_D（2）当 时，请你画出图形，研究 与 度数的比值是否与 A（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明CBA图1DCBA88、直线 CD 经过
7、 BCA的顶点 C，CA=CBE 、 F 分别是直线 CD 上两点，且EF（1）若直线 CD 经过 的内部，且 E、 F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若 ，则 BEAF（填“ ”， “”90,或“ ”号） ；如图 2，若 18BCA，若使中的结论仍然成立，则 与 C 应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线 CD 经过 的外部， BCA，请探究 EF、与 BE、 AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEF D DABCE FADFCEB图 1 图 2 图 399、(1) 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,AE ,BF 交于点 O,AO
8、F90 .求证：BECF.(2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E,H,F,G 分别在边 AB,BC,CD,DA 上,EF ,GH 交于点 O,FOH90, EF4.求 GH 的长.(3) 已知点 E,H,F,G 分别在矩形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点 O,FOH90,EF 4. 直接写出下列两题的答案：如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长；如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长( 用 n 的代数式表示) .第 23 题图 1第 23 题图 2第 23 题图 3 第 23 题图 41010、如图，直角梯形 ABCD 中， ， ，且BCAD 90，过点 D 作 ，交 的平分线于点 E，连接2tan2CDABC， E BDBE（1）求证： ；（2）将 绕点 C，顺时针旋转 得到 ，连接 EG.求证：CD 垂直平E 90G分 EG.（3）延长 BE 交 CD 于点 P求证：P 是 CD 的中点A DGECB11、已知：如图，AF 平分BAC，BCAF， 垂足为 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称，PB 分别与线段 CF，AF 相交于 P，M(1)求证：AB=CD；(2)若BAC=2MPC，请你判断F 与MCD的数量关系，并说明理由 FMPEDCBA
