1、初一数学全等三角形1全等三角形(一)SSS【知识要点】1全等图形定义:两个能够重合的图形称为全等图形2全等图形的性质:(1)全等图形的形状和大小都相同,对应边相等,对应角相等(2)全等图形的面积相等3全等三角形:两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1)表示方法:两个三角形全等用符号“”来表示,读作“全等于” 如全等,记作 DEFABC与 ABCDEF(2)符号“”的含义:“”表示形状相同, “=”表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等(3)两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角(4)证两个三角形全等时,通常把表示对
2、应顶点的字母写在对应的位置上4全等三角形的判定(一):三边对应相等的两个三角形全等,简与成“边边边”或“SSS” 如图,在 和 中ABCDEFAB【典型例题】例 1如图, ,点 B 与点 D 是对应点,ABC,且 , ,求26201ACS的度数及 的面积D,例 2如图, , ,求ABCDEFcmCEBA5,9,50的度数及 CF 的长EDF例 3如图,已知:AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证: CADBE例 4如图 AB=DE,BC=EF,AD=CF,求证:(1) ABCDEF(2)AB/DE,BC/EFAB CDE FAB DCAB E C FDABE CDAB CDFE初一数学全等三
3、角形2例 5如图,在 D、E 分别为 AC、AB 上的点,且,90CAB中BE=BC,DE=DC,求证:(1) ;AB(2)BD 平分 (角平分线的相关证明及性质)【巩固练习】1下面给出四个结论:若两个图形是全等图形,则它们形状一定相同;若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;若两个图形的面积相等,则它们一定是全等图形;若两个图形是全等图形,则它们的大小一定相同,其中正确的是( )A、 B、 C、 D、2如图, ,且 AB 和 CD 是对应边,下面四个结论中不正确的是( )A、 的面积相等 和B、 的周长相等和C、 CBDD、AD/BC 且 AD=BC3如图, ,A 和 B 以及 C 和
4、D 分别是对应点,如果BCD,则 的度数为( )35,60A、 B、 8C、 D、 804如图, ,AD=8,BE=2,则 AE 等于( )EFA、6 B、5 C、4 D、35如图,要使 ,则下列条件能满足的是( )ACDBEA、AC=BC,AD=CE,BD=BE B、AD=BD,AC=CE,BE=BDC、DC=EC,AC=BC,BE=AD D、AD=BE,AC=DC,BC=EC6如图, ,点 A 和点 D、点 E 和点 F 分别是对应点,则 AB= F, , AE= ,CE= ,AB/ ,若 ,则 DF 与 BC 的关系是 BE7如图, ,若 AEBACB则,45,30,4, , DCAEB
5、 CDABDCA BCD第 3 题图BACEFD第 4 题图第 5 题图AB C DE ACEBFD第 6 题图B ACDE第 7 题图第 8 题图AB D E CEFDBC A第 9 题题图初一数学全等三角形38如图,若 AB=AC,BE=CD,AE=AD,则 ,所以 ABECDAEB, , BAED9如图, , ,则下列说法错误的是( )CF90A、 B、互 余与 互 补与 FC、 D、互 余与 互 余与10如图, , ,FDBEcmCAC5.2,9,10,3求 的度数及 BC 的长11如图,在 中,AC=BD,AD=BC,求证: ABDC与 ABCD全等三角形(一)作业 1如图, ,AC
6、=7cm,AB=5cm.,则 AD 的长是( )ABCD A、7cm B、5cm C、8cm D、无法确定2如图, , ,点 B、C、E 在同一直线上,ABCDE62,48A则 的度数为( ) A、 B、 C、 D、483103如图, ,AF=2cm,CF=5cm,则 AD= DEF4如图, , ,求 的度数ABC25,10BADCA B C DFEAD CB AB CD E初一数学全等三角形45如图,已知,AB=DE,BC=EF,AF=CD,求证:AB/CD6如图,已知 AB=EF,BC=DE,AD=CF,求证: ABCFEDAB/EF7如图,已知 AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证:
7、 CAEBDA BCDEFBA CEFDAB ECD初一数学全等三角形0全等三角形(二)【知识要点】定义:SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS” ,几何表示如图,在 和 中,ABCDEF)(SA【典型例题】【例 1】 已知:如图,AB=AC,AD=AE,求证:BE=CD.【例 2】 如图,已知:点 D、E 在 BC 上,且BD=CE,AD=AE,1=2,由此你能得出哪些结论?给出证明.【例 3】 如图已知:AE=AF,AB=AC,A=60,B=24,求BOE 的度数.【例 4】 如图,B,C,D 在同一条直线上,ABC,ADE 是等边三角形,求证:CE=A
8、C+DC; ECD=60.【例 5】如图,已知ABC、BDE 均为等边三角形。求证:BDCD=AD。AB C EDFADBECAB D E C1 2BEAF COEAB C DDAB CE初一数学全等三角形1【巩固练习】1在ABC 和 中,若 AB= ,AC= ,还要加一个角的条件,CBABAC使ABC ,那么你加的条件是( )AA= B.B= C.C= D.A=B2下列各组条件中,能判断ABCDEF 的是( )AAB=DE,BC=EF;CA=CD B.CA=CD;C=F;AC=EFCCA=CD;B=E D.AB=DE;BC=EF,两个三角形周长相等3阅读理解题:如图:已知 AC,BD 相交于
9、 O,OA=OB,OC=OD.那么AOD 与BOC 全等吗?请说明理由.ABC 与BAD 全等吗?请说明理由.小明的解答:AODBOC21而BAD=AOD+ADB ABC=BOC+AOB所以ABCBAD(1)你认为小明的解答有无错误;(2)如有错误给出正确解答;4如图,点 C 是 AB 中点,CDBE,且 CD=BE,试探究 AD 与 CE 的关系。 5如图,AE 是 AB=AC,BAC的 平 分 线(1)若 D 是 AE 上任意一点,则ABDACD,说明理由.(2)若 D 是 AE 反向延长线上一点,结论还成立吗?请说明理由.6如图,已知 AB=AC,EB=EC,请说明 BD=CD 的理由D
10、 C1 2OA BACB EDBCDEA 12ABED CSASOA=OBOD=OC初一数学全等三角形2全等三角形(二)作业1如图,已知 AB=AC,AD=AE ,BF=CF,求证: 。BDFCE2如图,ABC,BDF 为等腰直角三角形。求证:(1)CF=AD;(2)CEAD。3如图,AB=AC,AD=AE, BE 和 CD 相交于点 O,AO 的延长线交 BC 于点F。求证:BF=FC。4已知:如图 1,ADBC,AE=CF,AD=BC,E、F 在直线 AC 上,求证:DEBF。5. 如图,已知 ABAC,ADAE,AB=AC,AD=AE,求证:(1)BE=DC, (2)BEDC.6、已知,
11、如图 A、F、C、D 四点在一直线上, AF=CD,AB/DE,且 AB=DE,求证:(1)ABCDEF (2)CBF=FECAB CEDFAC B DEFAD ECB FO12D CA BEFDABQ CPE初一数学全等三角形37、 已知:如图,AB=AC,AD=AE, BAC= DAE. 求证:BD=CE8、如图,正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上,连接 BE、DG,(1)观察猜想 BE 与 DG 之间的大小关系,并证明你的结论。(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请说出旋转过程,若不存在,说明理由。9、已知:如图,AD 是 BC 上的
12、中线 ,且 DF=DE求证:BECF10、已知 C 为 AB 上一点,ACN 和 BCM 是正三角形.求证:( 1)AM=BN(2)求AFN 大小。11、已知如图,F 在正方形 ABCD 的边 BC 边上,E 在AB 的延长线上,FBEB,AF 交 CE 于 G,求AGC 的度数.12、 如图,ABC 是等腰直角三角形,其中 CA=CB,四边形 CDEF 是正方形,连接 AF、BD.(1)观察图形,猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系,并证明你的猜想;(2)若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转,使正方形 CDEF 的一边落在ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标
13、记字母,题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.CNMBAEDFFDACE BFDACGEB初一数学全等三角形0全等三角形(三)ASA【知识要点】ASA 公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等如图,在 与 中ABCDEF)(ASEFBASA 公理推论(AAS 公理):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【典型例题】【例 1】下列条件不可推得 和 全等的条件是( )ABCA、 AB=A B , , B、 AB= A B ,AC=A C ,BC= C C、 AB= A B ,AC=A C , D、 AB= A B , , B【例
14、 2】已知如图,求证:BC=EFDE/,【例 3】如图,AB=AC, ,求证:AD=AECB【例 4】已知如图, ,点 P 在 AB 上,可以得出 PC=PD 吗?43,21试证明之【例 5】如图, ,AC=AE,求证:DE=BC321AB CDE FA DB E C FABD ECABCDP1 23 41 2A43BCDEO初一数学全等三角形1【例 6】如图, ,AC,BD 相交于 O,21,DA求证:AB=CD OA=OD【巩固练习】1如图,AB/CD,AF/DE,BE=CF,求证:AB=CD2如图,AD/BC,O 为 AC 中点,过点 O 的直线分别交 AD,BC 于点 M,N,求证:AM=CN3求证:两个全等三角形 ABC 与 A B C 的角平分线 AD、A D 相等 4如图,AB,CD 相交于 O,E,F 分别在 AD,BC 上,若 ,求FOBED证: COFAE5如图,AB/CD,AD/BC,求证:AB=CD6已知,如图 AB=DB, ,求证:AC=DE21,ECAB CDO1 2A BCNMDOAB CDA B D CAEDOCFBCADEB12A BDCFEABDC1 324