1、 全等证明 解题方法归纳第 1 页 共 14 页【第 1 部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。 （外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 （位置变化）2、全等三角形的表示方法：若ABC 和ABC 是全等的，记作“ABCABC”其中， “”读作“全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质：全
2、等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找图 3图 1 图 2全等证明 解题方法归纳第 2 页 共 14 页全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观
3、察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有 3 种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）边边边（SSS ） 边角边（ SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等） ；（2）不能证明两个三角形全等的是，三个角对应相等，即 AAA；有两边和其中一角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等
4、或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如： 过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D延长 AB 至 C，使 BCAC在 AB 上截取 AC，使 ACDE作ABC 的平分线，交 AC 于 D取 AB 中点 C，连接 CD 交 EF 于 G 点同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。全等证明 解题方法归纳第 3 页 共 14 页【第 2 部分 中点条件的运用】1、还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称与中心对称图形知识
5、：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。中心对称的两条基本性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 （一个图形）如：平行四边形线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散
6、的条件集中起来（集散思想） 。例 1、AD 是ABC 中 BC 边上的中线，若 AB2，AC 4，则 AD 的取值范围是 _。例2、已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于F，AF EF，求证：AC BE。A CB BC AODAB C ABCDEF全等证明 解题方法归纳第 4 页 共 14 页例 3、如图，D 是ABC 的边 BC 上的点，且 CD=AB，ADB= BAD，AE 是ABD的中线。求证：AC=2AE例 4 ABC 中，AD、BE、CF 是三边对应中线。 （则 O 为重心）求证：AD、BE 、CF 交于点 O。 （类倍长中线）
7、； ABOCASS练习 1、在ABC 中，D 为 BC 边上的点，已知BAD CAD，BD CD，求证：AB AC AB CD2、如图，已知四边形 ABCD 中，AB CD，M、N 分别为 BC、AD 中点，延长 MN 与AB、CD 延长线交于 E、F ，求证 BEM CFM3、如图，AB=AE，AB AE，AD=AC，ADAC，点 M 为 BC 的中点，求证：DE=2AM（基本型：同角或等角的补角相等、K 型） MDEBACEFACDMBOFEDAB C全等证明 解题方法归纳第 5 页 共 14 页2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）如图， ，C 是线段 AB 的中点，那么过点 C
8、的任何1l2直线都可以和二条平行线以及 AB 构造“8 字型”全等例 1 已知梯形 ABCD，ADBC ，点 E 是 AB 的中点，连接 DE 、CE。 求证： ABCD12DECSA梯例 2 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，M 是 AD 的中点，CEAB 于点 E，CEM=40，求 DME 的大小。 （提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）例 3 已知 ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD ACE=90，连接 DE，设 M 为DE 的中点。求证：MB MC；设 BAD CAE，固定 RtABD，让 RtACE移至图示位置，此时 MB MC 是否成立？请证明你的结论。l
9、2l1CBAEADCBEMAB DC EACDMB EACDMB全等证明 解题方法归纳第 6 页 共 14 页练习 1、已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90若 BD=BC，F 是 CD 的中点，试问：BAF 与BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；2、Rt ABC 中，BAC=90，M 为 BC 的中点，过 A 点作某直线 ，过 B 作 于lDl点 D，过 C 作 于点 E。l（1）求证：MD=ME（2）当直线 与 CB 的延长线相交时，其它条件不变， （1）中的结论是否任然成立？l3、如图（1） ，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC）中，点 B、C
10、、G 在同一直线上，M 是 AE 的中点， （1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图（1）中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转，使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。 （1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。 （结合前面“8 字型”全等，仔细思考） MDAEFGCBMDA EFGCBACDF lEDMAB C lEDMAB C全等证明 解题方法归纳第 7 页 共 14 页3、构造中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中
11、位线平行于第三边并且等于第三边的一半 重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。（全等法）在ABC 中，D 、E 分别是 AB、AC 边的中点，证明： DEBC，DE= BC12证明：延长 DE 至 F 点，使 DE=EF，连接 CF（倍长中线）三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出的分散条件集中起来（集散思想） 。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。例 1 在四边形 ABCD 中，E 、F 、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。求证：四边形 E
12、FGH 是平行四边形。例 2 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC=BD，M 、N 分别是AB、CD 的中点， MN 分别交 BD、AC 于点 E、F.你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？练习 1、三角形 ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，BDAD，点 D 是垂足，点 E 是边BC 的中点，如果 AB=6，AC=14，求 DE 的长。FEDBCAHGFEAB CDFEONMAB CD EDABC全等证明 解题方法归纳第 8 页 共 14 页2、AB CD，BCAD ，DEBE ，DF=EF，甲从 B 出发，沿着 BA-AD-DF 的方向运动
13、，乙 B 出发，沿着 BC-CE-EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B出发，则谁先到达 F 点？3、等腰 RtABC 与等腰 RtCDE 中，ACB=EDC=90 ，连 AE、BE，点 M 为 BE的中点，连 DM。（1）当 D 点在 BC 上时，求 的值DMAE（2）当CDE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明A FB EDCMA CBED MA CBDE全等证明 解题方法归纳第 9 页 共 14 页4、 ABC、CEF 都为等腰直角三角形，当 E、F 在 AC、BC 上，ACB=90，连 BE、AF，点 M、N 分别为 AF、BE 的中点（1）MN
14、 与 AE 的数量关系（2）将CEF 绕 C 点顺时针旋转一个锐角，MN 与 AE 的数量关系4、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形如图，ABC 中，E 为 BC 边的中点，那么显然ABE 和AEC 有相同的高 AD，底边也相等，故面积相等。例 E、F 是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE 交于点 G，则 =AGCDBS四 边 形矩 形DEAB CG FEA BCDMNEA CBF NMEA CBF全等证明 解题方法归纳第 10 页 共 14 页扩展 如图，等腰 RtACD 与 RtABC 组成一个四边形 ABC
15、D，AC=4 ，对角线 BD 把四边形 ABCD 分成了二部分，求 的值。ABDCS【5、等腰三角形中的“ 三线合一” 】“三线合一”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。例 ABC 中，AB=AC，BDAC 于 D，问CBD 和 BAC 的关系？分析：CBD 和BAC 分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。例 在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点，MNAC 于点 N，则 MN=_【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。例 如图 RtABC 中， ACD=90，CD 为斜边 AB 上的中线NB MACDBACDBACDBACADCB
