1、第一章 三角形初步定义与命题定义：规定某一名称或术语的意义的句子。命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果” ， “那么”的形式。正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。注意：基本事实和定理一定是真命题。证明在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。三角形由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形三角形按边分类三角形 ()三三三三角形按内角分类三角形 锐角三
2、角形：三个内角都是锐角直角三角形：有一个内角是直角钝角三角形：有一个内角是钝角三角形的性质三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形三内角和等于 180。三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。三角形的三种线顶角的角平分线：三条，交于一点三角形的中线：三条，交于一点三角形的高线：三条，交于一点。思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。还有其它
3、推出来的性质：全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。三角形全等的证明边边边：三边对应相等的两个三角形全等 （SSS）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （ASA）角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）斜边、直角边： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （ HL）证明两个三角形全等的基本思路：方 法 指 引证 明 两 个 三 角 形 全 等 的 基 本 思 路 ：（ 1） ： 已 知 两 边 -找 第 三 边 (SSS)找 夹 角 （
4、SAS)(2):已 知 一 边 一 角 -已 知 一 边 和 它 的 邻 角找 是 否 有 直 角 (HL)已 知 一 边 和 它 的 对 角找 这 边 的 另 一 个 邻 角 (ASA)找 这 个 角 的 另 一 个 边 (SAS)找 这 边 的 对 角 (AAS)找 一 角 (AAS)已 知 角 是 直 角 ， 找 一 边 (HL)(3):已 知 两 角 - 找 两 角 的 夹 边 (ASA)找 夹 边 外 的 任 意 边 (AAS)练 习角平分线的作法尺规作图角平分线的性质 在角平分线上的点到角的两边的距离相等.OP 平分AOB，PMOA 于 M，PNOB 于 N， PM=PN角平分线的
5、判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。PMOA 于 M，PNOB 于 N，PM=PNOP 平分AOB三角形的角平分线的性质三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等【 最后 】 学习全等三角形应注意以下几个问题：（ 1)要正确区分 “对应边 ”与 “对边 ”， “对应角 ”与 “对角 ”的不同含义。（ 2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上。（ 3） “有三个角对应相等 ”或 “有两边及其中一边的对角对应相等 ”的两个三角形不一定全等。切记切记（ 4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角 ” 、 “公共边 ”、 “对顶角 ”。ABCPM
6、NO第二章 特殊三角形轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称图形轴对称的性质关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平
7、分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。轴对称与轴对称图形的区别线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ）性质 2：等腰三角形的顶角
8、平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个内角都等于 60等边
9、三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形逆命题和逆定理命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果” ， “那么”的形式。正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。注意：基本事实和定理一定是真命题。互逆定理：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两
10、个命题叫互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。互逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理的互逆定理。注意：1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题。2.所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理。勾股定理一、 知识结构二. 知识点回顾 1、 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、 如何
11、判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如 c）（2） 验证 与 是否具有相等关系2c2ba（3） 若 = ，则ABC 是以C 为直角的直角三角形；若 2c2则ABC 不是直角三角形。3、 勾股数满足 = 的三个正整数，称为勾股数，如（1）3，4，5； （2）5，12，13； 2bac（3）6，8，10；（4）8，15，17； （5）7，24，25 （6）9, 40, 41定理： 22cba应用:主要用于计算直角三角形的性质:勾股定理直角三角形的判别方法:若三角形的三边满足 则22cba它是一个直角三角形.勾股定理第三章 不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式： 用“”(或“” )，
12、 “”(或“”) 等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型: “”读作“不等于” ，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；“”读作“大于” ，它表示左边的数比右边的数大；“”读作“小于” ，它表示左边的数比右边的数小；“”读作“大于或等于” ，它表示左边的数不小于右边的数；“”读作“小于或等于” ，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。(3)
13、 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数” 、 “非正数” 、 “不大于”、 “不小于”等数学术语的含义。2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。3不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式 x41 的解集是 x5. 不等式的解集与不等式的解的
14、区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。知识点二：不等式的基本性质基本性质 1：如果 a0，则点 A 在_；3)若 xy0，则点 A 在_.2. 坐标轴上的点的特征： x 轴上的点_为 0， y 轴上的点_为 0。3. 象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点_ _；二四象限角平分线上的点_ _。4. 平行于坐标轴的点的特征：平行于 x轴的直线上的所有点
15、的_坐标相同，平行于y 轴的直线上的所有点的_坐标相同。5. 点到坐标轴的距离：点 P,y到 x 轴的距离为_y_，到 y 轴的距离为_x_；三坐标平面内点的平移情况：左右移动点的_坐标变化， （向右移动_，向左移动_） ，上下移动点的_坐标变化（向上移动_，向下移动_）知识一、坐标系的理解知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标知识点三：点符号特征。知识四：求一些特殊图形，在平面直角坐标系中的点的坐标。知识点五：对称点的坐标特征。知识点六：利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系，找出对应点的坐标。知识点七：平移、旋转的坐标特点。P（x，y）P（x，ya）P（xa，y）P（xa，y）P（x，ya）向上平移 a 个单位长度向下平移 a 个单位长度向右平移 a 个单位长度向左平移 a 个单位长度
