1、 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题” 。今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。1. 什
2、么样的题会出现分类讨论思想-往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。2. 分类讨论需要注意什么-关键是“不重、不漏” ，特别要注意分类标准的统一性。3. 分类讨论中最容易错的是什么-总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意” 。【例1】 解方程：|x-1|=2分析：绝对值为2 的数有2个解：x-1=2或 x-1=-2, 则 x=3或 x=-1说明 应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题” 。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。1. 化简(如当 ab 即 a-b0 a=b 即 a-b=0 a0时
3、，2a0，即(1+a)-(1-a)0，即1+a1-a当 a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a当 a0时，1+a1-a；当 a=0时，1+a=1-a；当 a0时，1+a1-a。【例3】 已知线段 AB 长度为6cm，点 C 在直线 AB 上，且 AC=2cm，求 BC 的长度。分析：注意点 C 的位置不能确定。在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。解：如示意图，有两种情况。如图1，点 C 在 AB 之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm如图2，点 C 在 BA 的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8
4、cm【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？解：5个或4个或3个。【例 5】已知ABC 周长为 20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的 2倍，BC 长多少？解：设 AB=AC=x当 AB=2BC 时，BC=0.5x据题意，列 x+x+0.5x=20，解得 x=8cm，则 BC=0.5x=4cm当 BC=2AB 时，BC=2x据题意，列 x+x+2x=20，解得 x=5cm，则 BC=2x=10cm检验：当 AB=2BC 时，三边长为 8cm，8cm，4cm，可组成三角形；当 BC=2AB 时，三边长为 5cm，5cm，10cm，不可组成三角形，舍。答：BC 长为 4cm。
5、【例 6】 富城书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过 100 元，不享受优惠；一次性购书超过 100 元，但不超过 200 元，一律打九折；一次性购书超过 200 元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款 162 元，那么小明所购书的价格为多少。解：付款 162 元，由于 162100，可确定享受了优惠。因不确定是打九折还是打八折，所以分类。200 =180162，162 元可能享受了九折优惠，162 =180（元） ；109 109200 =160162，162元可能享受了八折优惠，162 =202.5（元）8 8答：小明所购书的价格为180元或202.5元。【例7】 三人分糖，每人都得整
6、数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍，已知糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？分析： 1. 两个限制条件：整数、质数2.一个常见说法：乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍3.一个常见不等式列法：糖果总数是小于50解：设丙获得了 x 块粮果，则乙的糖果数为(x+13)块，甲的糖果数为2(x+13)，根据题意，可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x50整理这个不等式，解得 x11/4=2.75由于糖果块数必为正整数，所以 x=1或2当 x=1时，x+13=14，2(x+13)=28总块数1+14+28=43，为质数，但4+3=
7、711，则 x=1应舍去；当 x=2时，x+13=15，2(x+13)=30总块数2+15+30=47，为质数4+7=11，合题意。答：甲分得糖果数为30块，乙分得15块，丙分得2块。练习题1.解方程：（1）|x+4|=3 （2） 22)3(a2.|a|+a 的值的情况讨论。3. 如果 、 、 是非零有理数，求 的值abccb4.比较 a2-a+4 与 a2+3 的大小5.数轴上有 A、B 两点,若 A 点对应的数是-2,且 A、B 两点的距离为 3,则点 B 对应的数为多少（画图表示） 。6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点?8. 已知A0B=1
8、20，BOC=30，则AOC 为多少。9.在一条直线上顺次取 A、B、C 三点，已知 AB5cm，点 O 是线段 AC 的中点，且 OB=1.5cm，求线段 BC 的长。 10. 已知ABC 周长为 18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大 3cm，BC 长多少？11. 在ABC 中，若 AB=3，BC=1-2x，CA=8，求 x 的取值范围。12. A、B 两地相距 480 千米,一列慢车从 A 地开出,每小时行 60 千米,一列快车从 B 地开出,每小时行 65 千米,慢车先开出 1 小时,两车相向而行,慢车开出 x 小时后,两车相距 100 千米,则列方程为 13.甲班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下表所示：购苹果数 不超过 30kg 30kg 以上但不超过 50kg 50kg 以上价格（元 3 元 2.5 元 2 元/kg）甲班分两次共购买苹果 70kg（第二次多于第一次） ，共付 189 元，则甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克。
