1、初一数学 分式、整式、图形变换知识点汇总整式代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作 “*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。5、代数式不能含有 “=、”符号。代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加 。2、若带入的值是负数时，应添上括
2、号。3、注意解题格式规范，应写 “当.时，原式=.”.1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，如 a，5。例：判断下列各代数式哪些是单项式（1 ） 2x； (2)y； (3)xy2； (4)52、单项式系数和次数：系数：与字母相乘的数字叫单项式的系数。次数：所有字母的指数的和叫做单项式的次数例：判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。x1； x1； 2r； 23a2b注：圆周率 是常数；当一个单项式的系数是 1 或1 时， “1”通常省略不写，如 , 等；2 2 单项式次数只与字母指数有关单项式的特征：1、分母都
3、不含字母。 2、不含数与字母或字母与字母的加减运算。 3、不含数与字母或字母与字母的开方运算。3、多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项，叫做常数项例：多项式 52x有三项，它们是 23x，2x，5 ，其中 5 是常数项多项式的项与次数：一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数例：多项式 32x是一个二次三项式。注：多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的每一项都包括它前面的符号多项式的特征：1、分母都不含字母。 2、不含字母的开方运算例：指出下列多项式的项和次数：(1)3x1 3 (2) 2 3 2 a2 3例
4、：已知代数式 是关于 x 的三次二项式，求 m、n 的条件。3 (m 1)x 1例： 7y8x2， 544.降幂、升幂排列：把多项式 5x23x2x31 按 x 的指数从大到小的顺序排列，可以写成2x35x2 3x1，这叫做这个多项式按字母 x 的降幂排列。若按 x 的指数从小到大的顺序排列，则写成1 3x5x22x3，这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列。例：把多项式 重新排列。3 3 32b 3a2(1)按 a 升幂排列； (2)按 a 降幂排列。注：重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“”号交换到后面时要添上；含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字
5、母升(降) 幂排列。5.整式：单项式与多项式统称整式6. 同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项叫同类项。常数项也是同类项。注：对同类项的理解要抓住两个相同和两个无关两个相同：所含字母相同，相同字母的指数相同。两个无关：同类项与系数大小无关，与所含字母的排列顺序无关。合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫合并同类项。把同类项的系数相加的结果做为合并后的系数，所含字母和字母的指数不变。注：1、如果两个同类项的系数互为相反数，合并结果为 0. 2、不要漏掉不能合并的项。3、只要不再有同类项就是结果。整式的运算7、整式的加减：本质上就是去括号，合并同类项。非同类项间用加号连接。添、去括号
6、法则：变括号，看符号；是正号，不变号；是负号，全变号。 举例: ， ，(21) +(+23) (+)8、幂的运算：1、同底数幂相乘： ；2、幂的乘方： ；3、mna=()mna()nnab4、同底数幂相除： mn其中 m、n 为正整数（4 中满足 mn，a 0 ） ，a、b 可以是单项式也可以是多项式。9、单项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式10、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加11、多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式
7、的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加12、单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式13、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加整式乘法的常见错误：（1 ） 所含不相同字母虽不做相乘运算，但结果不要漏写（2） 结果书写不规范：在书写代数式时，项的系数不能用带分数表示，若有带分数一律要化成假分数或小数形式（3） 忽略混合运算中的运算顺序 整式的混合运算与有理数的混合运算相同， “有乘方，先算乘方，再算乘除，最后算加减：如果有括号，
8、先算括号里面的 ”（4） 运算结果不是最简形式 运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成最简形式（5 ） 忽略符号而致错 在运算过程中和计算结果中最容易忽略“一”号而致错14、乘法公式应用：1 乘法公式：平方差公式（ a+b） （ab）=a 2+b2，完全平方公式：（ab）2=a22ab+b22 运用平方差公式应注意的问题：（1 ）公式中的 a 和 b 可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式如（a bc ） （b a+c ）=（b+ （ac）b（ac） =b 2 （ac） 23 运用完全平方公式应注意的问题：（1 ）公式中的字母具有一
9、般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的 “ 2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算分式分式的定义一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，A 为分子，BB 为分母。与分式有关的条件分式有意义：分母不为 0（ ）分式无意义：分母为 0（ ）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0
10、（ ）BA分式值为正或大于 0：分子分母同号（ 或 ）0分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 或 ）BA分式值为 1：分子分母值相等（ A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（ A+B=0）分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示： ， ，其中 A、B、C 是整式，C 0。CBA拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件 B 0。分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把
11、分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出
12、现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： dbca分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为 c 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子 nba 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 ca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减
13、。式子表示为 bdca整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。即 nma mna （ ）nb 0 （ ）na
14、 na1a （ ） （任何不等于零的数的零次幂都等于 1）100其中 m，n 均为整数。科学记数法若一个数 x 是 010 的数则可以表示为 （ ，即 a 的整数部分只有一位，nn0a10为整数）的形式，n 的确定 n=比整数部分的数位的个数少 1。如 120 000 000= 810.2分式方程的解的步骤去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 （产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简
15、公分母后值为 0。列分式方程基本步骤7 个 09 个数字 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程（组） 。 解解出方程（组） 。注意检验 答答题。图形和变换平移变换1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离2. 平移变换的性质（1）平移前后的图形全等即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等如图所示， ，且 共线，且例 1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）A. B. C.
16、 D. 轴对称变换1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称这条直线就是对称轴两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点如图所示， 关于直线 l 对称，l 为对称轴2. 轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴一个图形的对称轴可以有 1 条，也可以有多条3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别 联系轴对称 轴对称是指两个图形的对称关系轴对称图形轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形把轴对称的两个图形看成一个“整体”
17、（一个图形），则称为轴对称图形；把轴对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成轴对称4. 轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上如图 被直线 l 垂直平分5. 轴对称变换的作图：已知四边形 ABCD 和直线 l，求作四边形 ABCD 关于直线 l 的对称图形 例 1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ）A. B. C. D. 例 2. 如图所示， 关于直线 l 对称，将 向右平移得到由此得出下列判断： ； ； 其中正确的是（ ） A. B. C.
18、D. 旋转变换1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转这个定点 O 叫旋转中心，转动的角称为旋转角注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2. 旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角3. 旋转变换的作图：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出能确定图形的关键点；（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；（4）按
19、原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于 360）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转 180，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点1. 中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）；（3）关于中心对
20、称的两个图形，对应线段平行（或共线）；（4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积如图所示，若 关于点 O 中心对称，则对称中心 O 是线段共同的中点， 且 ， 且；反过来，若线段 都经过点 O 且 O 是它们的中点，那么 关于点 O 中心对称2. 中心对称的作图：以上图为例，作 关于点 O 的对称图形：（1）找出能确定原图形的关键点，如顶点 A、B、C；（2）分别作出原图形的关键点的对称点如：连结 AO，并在 AO 的延长线上截取，则点 A为点 A 关于点 O 的对称点；（3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点 所得的图形即为求作的对称图形3. 中心
21、对称图形：一个图形绕着一个定点旋转 180后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形这个定点叫做该图形的对称中心中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于 180）4. 中心对称与中心对称图形的区别与联系区别 联系中心对称中心对称是指两个图形的对称关系中心对称图形中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形把中心对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成中心对称例 1. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为 1， 构成的图形是中心对称图形ACDE B（1）画出此中心对称图形的对称中心 ；（2）画出将 沿
22、直线 DE 方向向上平移 5 格得到的 ；（3）要使 重合，则 绕点 顺时针方向旋转；至少要旋转多少度？（不要求证明）相似变换（1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（2）如果两图形 F 与 是位似图形，它们的位似中心是点 O，相似比为 k，那么：设 A 与 是一双对应点，则直线 过位似中心 O 点，并且 设 A 与 ，B 与 是任意两双对应点，则 ；若直线 AB、 不通过位似中心 O，则 （3）利用相似，可以将一个图形放大或缩小17、已知CDE 是CAB 经相似变换后得到的像，且A=30，CDE=30，AB=4，DE=2，AC=3，则 CD=_
