1、函数的奇偶性一、基本概念：1、 1偶函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 x，都有 ,那么xf xff函数 就叫做偶函数。偶的图像关于 y 轴对称,并在 y 轴两侧的单调性相反，反之成立；xf若 、 都是偶函数,那么在 与 的公共定义域上， + 为gxfgxfg偶函数， 为偶函数.当 时， 为偶函数。xf 0)(xf2.奇函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任一个 x，都有 ，那么函数xf xff就叫做奇函数xf一个函数如果是偶函数或者是奇函数，我们称这个函数具有奇偶性。奇函数的图像关于坐标原点对称，并在原点两侧的单调性相同，反之成立若 ， 都是奇函数，那么在 与 的公共定义域上，
2、 + 是奇函数，xfgxfgxfg是奇函数， 是偶函数，当 0 时， 是偶函数。 f gxf )(若 和 一个为奇函数，另一个为偶函数，则 既不是奇函数又不是偶函数，)(xfg )(xfg为奇函数3、 常见函数的奇偶性一次函数 当 b0 时是非奇非偶，当 b=0 时是奇函数。kxy二次函数 当 b0 时是非奇非偶，当 b=0 时是偶函数。ca2反比例函数 （k0）是奇函数。xy.常函数 是偶函数 0 既是偶函数又是奇函数为 常 数cffx二、判断奇偶函数的常用方法 1.定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的 ,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的,再判断
3、 之一是否成立.xff2.验证法:判断 与 的关系,只需验证 及 = 是否成立即可. xff0xff )(xf13.图像法:奇（偶）函数等价于它的图像关于原点 (y 轴)对称。4.性质法:利用上述性质来判断 ,即利用奇偶函数的和、差、积、商的奇偶性,以及复合函数的奇偶性来判断,题型一 判断函数的奇偶性例 1 （1）一般函数的奇偶性 ， RxfxG, 1xf1,x（2）分段函数的奇偶性判断函数 是否为奇函数，并证明。)0(320)()(2xxf(3) 抽象函数的奇偶性设函数 对于任意 都有 求证： 是奇函数xf,yRfxyffyxf题型 2、利用奇偶性求函数值例 1：已知 且 ，那么8)(35b
4、xaxf 10)2(f )2(f题型 3、利用奇偶性比较大小例 2：已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。)(xf0,)5(f1(f)3f题型 4、利用奇偶性求解析式例 3：已知 为偶函数 ，求 的解)(xf 时当时当 01,)(,10xxf )(xf析式题型 5、利用奇偶性讨论函数的单调性例 5：若 是偶函数，讨论函数 的单调区间。3)()2()xkxf )(xf题型 6、利用奇偶性求参数的值例 6：定义在 R 上的偶函数 在 是单调递减，若)(xf)0,，则 的取值范围是如何？123()12(afaf练习1.已知函数 ， 则 （ ） 1fx2xRA. B. 为偶函数 C. D.
5、 不是偶函数f f0fxffx2.若 是偶函数，则 （ 为常数） ( ) kA.是偶函数 B.不是偶函数 C.是常数函数 D.无法确定是不是偶函数3.函数 = 则 为 （ ） fx0,1.fxA.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数4.已知 为奇函数，则 为 （ ） fxfxA 奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数例 5 已知 是奇函数，且当 时 ，求 时， 的表达式。f 02fx0xfx例 6 函数 是奇函数，且当 时是增函数，若 ，求不等0fx， 1f式 的解集。 12f例 7 已知 ，且 ，则753()6fxbcxd(3)12f(3)f例 8. 已知函数 ,当 时,恒 .且 ，又fyRfxyffy0,xf时（ 1）求证： 是奇函数；（2）求证： 在 R 上是减函数；（3）求2ffx()在区间 上的最值.x,61.已知点 是偶函数 图像上一点，则 等（ ）1,3fx1fA.-3 B.3 C.1 D.-12 若点 在奇函数 的图象上，则 等于,yffA.0 B.-1 C.3 D.-33.已知 ， ， =_8)(35bxaxf 10)2(f)(f
