1、1函数的单调性知识梳理1. 单调性概念一般地，设函数 的定义域为 ：()fxI（1）如果对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有ID12,x12x，那么就说函数 在区间 上是增函数；2()fxf()f（2）如果对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有12,12，那么就说函数 在区间 上是减函数.1fffx2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（2）定义法步骤；取值：设 是给定区间内的两个任意值，且 (或 )；12,x 12x12x作差：作差 ，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为
2、止）；2()ffx定号：判断 的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；12ff下结论：根据定义得出其单调性.（3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）3. 单调区间的定义如果函数 ，在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，()yfxD区间 叫做 的单调区间 D例题精讲【例 1】下图为某地区 24 小时内的气温变化图 (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？2解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间
3、和 下降，在区间 下降。0,41,24,1【例 2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f( x)=x;从左至右图象上升还是下降? 在区间(-，+)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着怎么变化？（2）f( x)=x2在区间(-，0)上，随着 x 的增大，f(x )的值随着怎么变化？在区间0 ，+)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着怎么变化？解：（1）从左至右图象是上升的；在区间(-，+) 上，随着 x 的增大， f(x)的值随着增大（2）在区间(-，0)上，随着 x 的增大，f(x )的值随着减小；在区间0 ，+)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着增大【例 3】函数 在定义域的
4、某区间 上存在 ，满足 且 ，那么函()yfxD12,x12x12()fxf数 在该区间上一定是增函数吗？()yfx解：不一定，例如下图：【例 4】下图是定义在闭区间 上的函数 的图象，根据图象说出函数的单调区间5,()yfx，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数3解：函数 的单调区间有 ；()yfx5,2),13),5其中在区间 上是减函数，在区间 上是增函数.5,21,3)2,)【例 5】证明函数 在 上是增函数.fR证明：设 是 上的任意两个实数，且 （取值） 12,xR12x则 （作差）212()()()ffx3由 ，得 12x120于是 （定号） ()ffx所以 12所以，函数
5、 在 上是增函数。 （下结论）3fR课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 若函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在区间()fx(,)ab(,)cd()fx上 ( )(,),abcdA.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性2. 在区间 上为增函数的是（ ）,0)A 1yB 21xy C 2x D3函数 ,在 上是（ ）A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.无单调性4如果函数 f(x)在a，b上是增函数，对于任意的 x1，x 2a，b(x 1x 2)，下列结论不正确的是( )A. 0 B(x 1x 2) f(x1)f (x2)0fx1 fx2x1 x2Cf(a)0x2 x1fx2 fx15函数 的减区间是 .y6证明：函数 1()fx在 (0,)上是减函数。47已知 f(x)在(0，) 上是减函数，判断 f(a2a1)与 f 的大小关系(34)8若函数 f(x)4x 2kx8 在5,8 上是单调函数，求 k 的取值范围.9已知函数 ,若 .()1axf(l)求 的值.(2)利用单调性定义证明函数 在区间 的单调性 .
