1、绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数 的绝对值就是数轴上表示数 的点与原点的距离.数aaa的绝对值记作 . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.注意： 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 .0 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0. 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 符号是5负号，绝对值是 .5【求字母 的绝对值】a (0)(0)a(0)a
2、利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|0 如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.例如：若 ，则 ， ，abca0bc【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 ，且 ；（2）若 ，则 或 ；abab（3） ； ；(0)（4） ；22|（5）|a|-|b| |ab| |a|+|b|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离a的几何意义：在数轴上，表示数 对应数轴上两点间的距离bab【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须
3、设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例 1：已知|x2|y3|0，求 x+y 的值。解：由绝对值的非负性可知 x2 0，y30； 即：x=2，y =3；所以 x+y=5 判断必知点： 相反数等于它本身的是 0 倒 数等于它本身的是 1 绝对值等于它本身的是 非负数 【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个
4、非负数的和为 0，那么这几个非负数均为 0.2. 绝对值的非负性；若 ，则必有 ， ，abc0ab0c【例题】若 ，则 。315xyzxyz总结：若干非负数之和为 0， 。【巩固】若 ，则72mnp23_pnm【巩固】先化简，再求值： ababba)(3其中 、 满足 .0)412（二）绝对值的性质【例 1】若 a0，则 4a+7|a|等于（ ）A11a B-11a C-3a D3a【例 2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A1，0 B正数 C非正数 D非负数【例 3】已知|x|=5，|y|=2，且 xy0，则 x-y 的值等于（ ）A7 或-7 B7 或 3 C3 或-3 D-
5、7 或-3c ba0-1 1【例 4】若 ，则 x 是（ ）1A正数 B负数 C非负数 D非正数【例 5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判断正确的是（ ）A1-b -b 1+aa B1+aa1-b-bC1+a 1-ba -b D1-b1+a-ba【例 6】已知 ab 互为相反数，且|a-b|=6 ，则|b-1| 的值为（ ）A2 B2 或 3 C4 D2 或 4【例 7】a0，ab0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例 8】若|x+y|=y-x，则有（ ）Ay0，x0 By0，x0 Cy0，x0 Dx=0 ，y0 或
6、 y=0，x0【例 9】已知：x0z，xy0 ，且|y|z|x| ，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号【例 10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|m，则 m0；（4）若|a|b|，则 ab ，其中正确的有（ ）A（1）（2）（3） B（1）（2）（4） C（1）（3）（ 4） D（2）（3）（4）【例 11】已知 a，b，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _【巩固】知 a、b、c、d 都是整数，且|a+b|
7、+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。【例 12】若 x-2 ，则|1-|1+x|=_若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= _【例 13】计算 = 11.232076【例 14】若|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _【例 15】已知数 的大小关系如图所示，,abc则下列各式： ； ； ；()0b0)(1cba；ac 其中正确的有 （请填写番bc2号）【巩固】已知：abc0 ，且 M= ，当 a，b，c 取不同值时， M 有 _a种不同可能当 a、b、c 都是正数时，M= _；当 a、b、c 中有一个
8、负数时，则 M= _；ca0b当 a、b、c 中有 2 个负数时，则 M= _；当 a、b、c 都是负数时，M=_ 【巩固】已知 是非零整数，且 ，求 的值， ， 0abcabca（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例题】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，0x如化简代数式 时，可令 和 ，分别求得12x10x2（称 分别为 与 的零点值） ，在有理数范围内，零x， ，点值 和 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下 中情况： 3当 时，原式1x121xx当 时，原式2 3当 时，原式
9、x xx综上讨论，原式132x （1）求出 和 的零点值 （2）化简代数式2424x解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为 x=-2 和 x=4 （2）当 x-2 时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 当-2x 4 时， |x+2|+|x-4|=6； 当 x4 时，|x+2|+|x-4|=2x-2 【巩固】化简1. 2. 的值12x 12m3. 4. (1) ；523x12x变式 5.已知 的最小值是 ， 的最大值为 ，求23xa23xb的值。ba（四） 表示数轴上表示数 、数 的两点间的距离baab【例题】 （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 ，3 与25
10、， 与 ， 与 3. 264并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .(2) 若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时 x 的取值范围为 .(4) 满足 的 的取值范围为 .341x(5) 若 的值为常数，试求 的取值范围123208xxx x（五） 、绝对值的最值问题例题 1: 1）当 x 取何值时，|x-1| 有最小值，这个最小值是多少？2) 当 x 取何值时，|x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？3) 当 x 取何值
11、时，|x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？4）当 x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题 2：1）当 x 取何值时，-|x-1| 有最大值，这个最大值是多少？2)当 x 取何值时，-|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？3)当 x 取何值时，-|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？4）当 x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上 2 个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0 和正数，有最小值是 02）非正数：0 和负数，有最大值是 03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，则-|a|04）x 是任意有理数
12、，m 是常数，则 |x+m|0，有最小值是 0，-|x+m|0有最大值是 0（可以理解为 x 是任意有理数，则 x+a 依然是任意有理数，如|x+3|0 ，-|x+3|0或者|x-1|0，-|x-1|0 ）5）x 是任意有理数，m 和 n 是常数，则|x+m|+nn，有最小值是 n-|x+m|+nn，有最大值是 n(可以理解为|x+m|+n 是由|x+m| 的值向右(n0)或者向左（n0，x-22 时，x+10 ，x-20，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 我们发现：当 x3 当-1x2 时，|x+1|+|x-2|=3 当 x2 时，|x+1|+|x-2|=2x-13 所以：
13、可知|x+1|+|x-2|的最小值是 3，此时： -1x2 解：可令 x+1=0 和 x-2=0，得 x=-1 和 x=2（-1 和 2 都是零点值） 则当-1x2 时，|x+1|+|x-2|的最小值是 3 评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求 x 的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x 的取值范围在这 2 个零点值之间，且包含 2 个零点值。例题 4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时 x 的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-
14、12|+|x+13|的过程可令 x+11=0，x-12=0，x+13=0 得 x=-11，x=12 ，x=-13（-13，-11,12 是本题零点值）1） 当 x0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144） 当 x=-11 时，x+11=0 ，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255） 当-110，x-120，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366） 当 x=12 时， ，x+11=23 ，x-12=0，x+13=25 ，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487） 当 x12 时，x+110 ，x-120，x+130，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当 x27当 x=-13 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
