1、 1全等三角形知识点总结及复习一、知识网络 对 应 角 相 等性 质 对 应 边 相 等边 边 边 S全 等 形 全 等 三 角 形 应 用 边 角 边 A判 定 角 边 角 角 角 边斜 边 、 直 角 边 HL作 图 角 平 分 线 性 质 与 判 定 定 理二、基础知识梳理（一） 、基本概念1、 “全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合
2、的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全
3、等。2（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找
4、夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例 1. 已知：如图所示，AB=AC， ，求证： .例 2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF 与 DE 交于点 B。求证： 。例 3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证： 。3例 4. 如图所示， ，垂足分别为 D、E，BE 与 CD 相交于点 O，且求证：BD=CE。 例 5：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD、CEAB 于 E，且B+D=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，
5、有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于 AC 是角平分线，所以在 AE上截 AF=AD，连结 FC，可证出 ADCAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在 AE 上截取 AF=AD，连结 FC。在AFC 和ADC 中AFDC已 作已 知公 共 边12AFCADC（边角边）AFC=D（全等三角形对应角相等）B+D=180（已知）B=EFC（等角的补角相等）在CEB 和CEF 中BEFC已 证 已 知公 共 边 90CEBCEF （角角边）4BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段
6、EA 上截 EF=BE，连结 FC（如右图） 。小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。（四） 全等三角形复习练习题一、选择题1如图，给出下列四组条件： ； ；ABDECFAD， ， BEBCEF， ， ； ， ， AD， ，其中，能使 的条件共有（ ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 2.如图， 分别为 的 ， 边的中点，将此三角形沿 折叠，使点 落在 边， C AB上的点 处若 ，则 等于（ ）P48P3.如图（四） ，点 是 B上任意一点， ，还应补充一个条件，才能推出ACD 从下列条件中补充一个条件，不一
7、定能推出 P 的是（ ）A BB C BDD AA B C D4252581 题图 2 题图 4.如图，在ABC 与DEF 中，已有条件 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B=E（D）A=D，BC=EF5如图， ABC 中， C = 90， AC = BC， AD 是 BAC 的平分线，DEAB 于 E，若 AC = 10cm，则 DBE 的周长等于( )A10cm B8cm C6cm D9cm6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可
8、供选择的地址有（ ）1 处 2 处 3 处 4 处4 题图 5 题图CADPB图（四）EDCBA 6 题图57某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去8如图，在 Rt 中， 90B ， ED是 AC的垂直平分线，交 AC于点 D，交 B于点 E已知 1，则 的度数为（ ）A 30 B 4 C 50 D 609如图， ， =30，则 的度数为（ ）A A20 B30 C35 D4010如图， AC AD， BC BD，则有（ ）A AB 垂直平分 CD B CD 垂直平分 AB1 题图 C AB 与 CD
9、 互相垂直平分 D CD 平分 ACB8 题图 10 题图 11尺规作图作 AOB的平分线方法如下：以 O为圆心，任意长为半径画弧交 OA、 B于 C、D，再分别以点 C、 D为圆心，以大于 12CD长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 ， 由作法得P 的根据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS 12.如图, C=90,AD 平分BAC 交 BC 于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D 到 AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定13如图， OP 平分 ， ， ，垂足分别为 A， B下列结论中不一定成立的是OPOB（ ）A B 平分 C
10、D 垂直平分OP14.如图，已知 那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（ ）D， C A B C DCA 90 11 题图 12 题图 二、填空题1.如图，已知 ADB， ACE，要使 ABC DE ，可补充的条件是 （写出一个即可）_2.如图,在ABC 中,C=90,AC=BC,AD 平分BAC 交 BC 于 D,DEAB 于 E,且 AB=5cm,则DEB 的周长为 _3.如图， C，请你添加一个条件： ，使 O（只添一个即可） ADCEB8 题图ABC D7 题图ABCDABCD14 题图CABO13 题图BAPO DPCAB64.如图，在 ABC 中，C=90ABC 的平分线 BD
11、 交 AC 于点 D,若 BD=10 厘米，BC=8 厘米，DC=6 厘米，则点 D 到直线 AB 的距离是_厘米。1 题图 2 题图 3 题图 4 题图5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 6.已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度.7 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形CDE、AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成
12、立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 。8.如图所示，AB = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是_.6 题图 7 题图 8 题图三、解答题1.如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.第 1个 第 2个 第 3个A CEB DOABCDEDOCBABABCDEQPOBEDCAAB D E C72.如图，在 中， ，分别以 为边作两个等腰直角三角形ABC 40BAC， ABC，和 ，使 DE9DE（1）求 的度数；（2）求证： 3.如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED；
13、 (2) OBOE .4.如图，D 是等边ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边EDC，连接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由5.如 图 ， 在 ABC 和 DCB 中 ， AB = DC， AC = DB， AC 与 DB 交 于 点 M（1）求证： ABC DCB ；（2）过点 C 作 CN BD，过点 B 作 BN AC， CN 与 BN 交于点 N，试判断线段 BN 与 CN 的数量关系，并证明你的结论OCEBDAB CA DMNEDCBA86.如图，四边形 ABCD的对角线 与 BD相交于 O点， 12， 34求证：（1） ；（2） 7如图，在 和 中，
14、现给出如下三个论断： ； ；ABC D ADBCD 请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题12（1）写出所有的真命题（写成“ ”形式，用序号表示）： （2）请选择一个真命题加以证明你选择的真命题是： 证明：8.已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD21 DCBA O12 3499如图， ABC 中， BAC=90 度， AB=AC， BD 是 ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证： BD=2CE10.如图， ，请你写出图中三,ABCDAEBDAEF于 点 ， ，
15、平 分 交 于 点对全等三角形，并选取其中一对加以证明11已知：如图， DC AB，且 DC=AE， E 为 AB 的中点，（1）求证： AED EBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除 EBC 外，请再写出两个与 AED 的面积相等的三角形 （直接写出结果，不要求证明）：12如图， E、 F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE AC 于 E， BF AC 于 F，若 AB=CD， AF=CE， BD交 AC 于点 M（1）求证： MB=MD， ME=MF（2）当 E、 F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由OE DCBAB D CFA 郜EFEDCBA1013 已知：如图 A、D、C、B 在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF求证：（1）DFCE （2）DE=CF AD FE 14.如图，已知在ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两条边上的高，在 BE 上截取 BD = AC，在 CF 的延长线上截取 CG = AB，连结 AD、AG，则 AG 与 AD 有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知 BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若 AB=AC求证：AD 平分BACBCE
