1、 中考数学专题 动态几何问题第一部分 真题精讲【例 1】如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高ABCDB 3AD5C10B为 动点 从 点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同4M N时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动设运动的时间为 （秒）C t DNCMBA（1 ）当 时，求 的值；NAB t（2 ）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tN【思路分析 1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多
2、数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N 是在动，意味着 BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN/AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当 、 运动到 秒时，如图 ，过 作 交 于 点，MNtDEAB CE则四边形 是平行四边形ABED AB M CNED ， AD （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 MN 放在三角形N内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关
3、系就是将静态与动态联系起来的关键）MCE 解得 10235t017t【思路分析 2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2 ）分三种情况讨论： 当 时，如图作 交 于 ，则有 即 （利用等腰三角MNCNFBCF2MCF形底边高也是底边中线的性质） ，4sin5DF ，3co ，102tt解得 58AB M CNFD 当 时，如图，过 作 于
4、 HNCD则 ，2H 3105tt 67AB M CNHD 当 时， CN则 102t 3t综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形58t60173MNC【例 2】在ABC 中，ACB=45点 D（与点 B、C 不重合）为射线 BC 上一动点，连接AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1 ）如果 AB=AC如图，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系，并证明你的结论（2 ）如果 ABAC ，如图，且点 D 在线段 BC 上运动 （ 1）中结论是否成立，为什么？（3 ）若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点
5、P，设 AC ，42，CD= ，求线段 CP 的长 （用含 的式子表示）3BCxx【思路分析 1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点” ，所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：（1 ）结论：CF 与 BD 位置关系是垂直； 证明如下： AB=AC ，ACB=45，ABC=45 由正方形 ADEF 得 AD=AF ， DAF=BAC =90， DAB= FAC ，DABFAC ， ACF= ABDBCF=ACB+ACF=
6、 90即 CFBD【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2 ） CFBD(1)中结论成立理由是：过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即 CFBD【思路分析 3】这一问有点棘手， D 在 BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出 CP.（3
7、 ）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点 Q， 点 D 在线段 BC 上运动时，BCA=45，可求出 AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证AQDDCP， ， ，CPDA4CPx 24xCP点 D 在线段 BC 延长线上运动时，BCA=45，可求出 AQ= CQ=4， DQ=4+x 过 A 作 交 CB 延长线于点 G，则 CFBD，GACFDAQDDCP， ， ，CPDQA4PxGAB CD EF24xCP【例 3】已知如图，在梯形 ABCD中， 24BADC ， ， ， 点 M是 AD的中点，MBC是等边三角形（1 ）求证：梯形 是等腰梯形；（2 ）动点 P、 Q分别在线段 和 M
8、上运动，且 60PQ 保持不变设xy， ，求 与 x的函数关系式；（3 ）在（2 ）中，当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由【思路分析 1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例 1 一样是双动点问题，所以就需要研究在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60 ，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系. 怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯 .于是就有了思路.【
9、解析】（1 ）证明： MBC 是等边三角形 60， 是 AD中点 B 60MC ， AD B梯形 C是等腰梯形（2 ）解：在等边 MB 中， 4CB， 60MCB ，60PQ 120BPQ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣A DCB PMQ60摩) BMPQC PCxQy， 4BPxQCy， 4 21(设元以后得出比例关系 ,轻松化成二次函数的样子)【思路分析 2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时 Y 有最小值。接下来就变成了“给定 PC=2，求PQC 形状”的问题了。由已知的 BC=4，自然看出 P 是中点，于是问题轻
10、松求解。（3 ）解： PQC 为直角三角形 2134yx当 取最小值时， 2PC P是 B的中点， MB， 而 60Q ， 30CQ ， 9以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题 .【例 4】已知正方形 中， 为对角线 上一点，过 点作 交 于 ，ABCDEBDEFBDCF连接 ， 为 中点，连接 DFGG，（1 ）直接写出线段 与 的数量关系；（2 ）将图 1
11、中 绕 点逆时针旋转 ，如图 2 所示，取 中点 ，连接 ，45GE，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3 ）将图 1 中 绕 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中BEF的结论是否仍然成立？（不要求证明） 图3图2 图1FEAB CDAB CDE FGGFEDCBA【思路分析 1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转 45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF 旋转 45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是 G 是中点，中点往往意味
12、着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接 AG 之后，抛开其他条件，单看 G 点所在的四边形 ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过 G 点做 AD,EF 的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1 ） CE（2 ） （1）中结论没有发生变化，即 CGE证明：连接 ，过 点作 于 ，与 的延长线交于 点AMNADFN在 与 中，DGC ，G， ， A GC在 与 中，DMFN ，DGMNF， ， G N在矩形 中， AEE在 与 中，RtMt ，NG， AMGEN C MN图2 AB CDE FG【思路分析 2
13、】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF 任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是 G 点是 FD 的中点。可以延长一倍 EG 到 H，从而构造一个和 EFG 全等的三角形，利用 BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形 EBC 和三角形 CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了。（3 ） （1）中的结论仍然成立
14、 G 图3FEAB CD【例 5】已知正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 交射线 DC 于点 F，将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B 处（1 ）当 =1 时，CF=_cm，CEB（2 ）当 =2 时，求 sinDAB 的值；（3 ）当 = x 时（点 C 与点 E 不重合），请写出 ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部EB分的面积 y 与 x 的关系式， （只要写出结论，不要解题过程）CADB【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为 1，第二问比例
15、为 2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】（1 ） CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2 ） 如图 1，当点 E 在 BC 上时，延长 AB交 DC 于点 M， ABCF， ABEFCE， FCAB =2， CF=3CEB AB
16、CF，BAE=F 又BAE= B AE， B AE=F MA=MF设 MA=MF=k，则 MC=k -3，DM=9-k在 Rt ADM 中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM= （设元求解是这类题型中比较重要的1252方法） sin DAB= ； 135AMD如图 2，当点 E 在 BC 延长线上时，延长 AD 交 B E 于点 N，同可得 NA=NE设 NA=NE=m，则 B N=12-m在 Rt AB N 中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= 15292 sin DAB= 3图 2图 1（3 ） 当点 E 在 BC 上时，
17、y= ； 18x（所求A B E 的面积即为ABE 的面积，再由相似表示出边长）当点 E 在 BC 延长线上时，y= x【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运
18、动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分 发散思考【思考 1】已知：如图（1） ，射线 射线 ， 是它们的公垂线，点 、 分别/AMBNADC在 、
19、 上运动（点 与点 不重合、点 与点 不重合） ， 是 边上的动AMBNDCEAB点（点 与 、 不重合） ，在运动过程中始终保持 ，且EDaD（1 ）求证： ；EC（2）如图（2） ，当点 为 边的中点时，求证： ；ABBA（3 ）设 ，请探究： 的周长是否与 值有关？若有关，请用含有 的mAmm代数式表示 的周长；若无关，请说明理由EC第 25题 （ 1） 第 25题 （ 2） 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，
20、如果是关于 M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考 2】 ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA，若 PBC 180，0且PBC 平分线上的一点 D 满足 DB=DA，（1 ）当 BP 与 BA 重合时（如图 1） ，BPD= ；（2 ）当 BP 在ABC 的内部时（如图 2） ，求BPD 的度数；（3 ）当 BP 在ABC 的外部时，请你直接写出BPD 的度数，并画出相应的图形【思路分析】本题中，和动点 P 相关的动量有PBC，以及 D 点的位置，但是不动的量就是 BD 是平分线并且 DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找
21、出相似、全等三角形。事实上，P 点的轨迹就是以 B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那 D 点是什么呢？留给大家思考一下【思考 3】如图：已知，四边形 ABCD 中，AD/BC， DCBC，已知AB=5， BC=6， cosB= 5点 O 为 BC 边上的一个动点，连结 OD，以 O 为圆心，BO 为半径的O 分别交边 AB 于点P，交线段 OD 于点 M，交射线 BC 于点 N，连结 MN（1 ）当 BO=AD 时，求 BP 的长；（2 ）点 O 运动的过程中，是否存在 BP=MN 的情况？若存在，请求出当 BO 为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；（3 ）在点 O 运动的过程中，以点 C 为圆心，CN 为半径作C，请直接写出当C 存在时，AB CDOP MNAB CD（备用图）
