1、- 1 -归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a 2，4a 3，-8 a4，根据你发现的规律，第 8 个式子是 ；第 n 个数据应为 。2.（南平）给定一列按规律排列的数： ，则这列数的第 6 个数是 ( )1,507A B C D 637635317393 （黔东南州）观察规律：1=1 2；1+3=2 2；1+3+5=3 2；1+3+5
2、+7=4 2；，则 1+3+5+2015 的值 是 4 （沈阳）有一组等式：1 2+22+22=32，2 2+32+62=72，3 2+42+122=132，4 2+52+202=212请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 8 个等式为 5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a 11 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，试猜1156想第 n 个等式（n 为正整数）：a n= 6.（南宁）有这样一组数据 a1，a 2，a 3，a n，满足以下规律：a1 ，a 2 ，a 3 ，a n （n2 且 n 为正整数） ，则 a2016 的值为 121（结果用数字表示） 7. （广安）已知直线 y= （
3、n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为 Sn，则 ()1nxS1+S2+S3+S2016= 8.（大庆）已知 ， ， ，1()23()5231()572依据上述规律，计算 + 的结果为 。1709将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第 5 行从左到右的第 3 个数为 ；第 n 行（n3）从左到右的第 3个数为 （用含 n 的代数式表示）10请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：1346122334324()()6ababab根据前面各式的规律，则 6()_.ab- 2 -考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通
4、过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1 （牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第 n 个图案中共有 小三角形的个数是 2 （娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第 n 个图形需 根火柴棒3 （江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n 个图形中所有点的个数为_（用含 n 的代数式表示） 4 （呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第 1 个图案需 7 根火柴，第 2 个图案需
5、13 根火柴，依此规律，第 11 个图案需_根火柴5 （遂宁）为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 6 （深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第 1 幅图中有 1 个正方形；第 2 幅图中有 5 个正方形；按这样的规律下去，第 6 幅图中有 个正方形- 3 -7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 5 个图形中所有正三角形的个数为_8. 如图是一组有规律的图案，图案 1 是由 4 个 组成的，图案 2 是由 7 个 组成的，那么图案 3是由 个 组成的，依此，第 n 个图案是由 个 组成的9
6、(2015重庆(B)，8，3 分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图 1 中有 2 个黑色正方形，图 2 中有 5 个黑色正方形，图 3 中有 8 个黑色正方形，图 4 中有 11 个黑色正方形，依此规律，图 11 中黑色正方形的个数是 ( )A32 B29 C28 D2610(2015重庆(A)，8，3 分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 1 个图形中一共有 6 个小圆圈，第 2 个图形中一共有 9 个小圆圈，第 3 个图形中一共有 12 个小圆圈，按此规律排列，则第 7 个图形中小圆圈的个数为 ( )A21 B24 C27 D3011. 将图
7、1 的正方形作如下操作：第 1 次分别连接对边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形，以此类推，第 n 次操作后，得到正方形的个数是 12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有 4个三角形，第（2）个图案有 7 个三角形，第（3）个图案有 10 个三角形，依此规律，第 n 个图案有 个三角形（用含 n 的代数式表示）- 4 -13平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第 20 个图案中，小菱形的个数是_个
8、第 1个 第 2个第 3个 第 4个 14. 将一个面积为 1 的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图 1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图 2、图 3)如此进行挖下去，第 4 个图中，剩余图形的面积为_，那么第 n(n 为正整数 )个图中，挖去的所有三角形的面积和为 _(用含 n 的代数式表示)考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作
9、为猜想的一个参考依据。1. （张家界）如图，OP=1，过 P 作 PP1OP，得 OP1= ；再过 P1 作 P1P2OP1 且 P1P2=1，得 OP2=2；又过 P2 作 P2P3OP2 且 P2P3=1，得 OP3=2；依此法继续作下去，得 OP2016= 32 （黑龙江）已知等边三角形 ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形，得到第一个等边三角形 AB1C1，再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB2C2，再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个
10、等边 AB3C3；，如此下去，这样得到的第 n 个等边三角形 ABnCn的面积为 3 （牡丹江）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中，DAB=60连结对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACEF，使FAC=60连结 AE，再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使HAE=60按此规律所作的第 n 个菱形的边长是 - 5 -4 （六盘水）把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 m 上，OA 边在直线 m 上，然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90，此时，点 O 运动到了点 O1 处（即点 B 处） ，点 C 运动到了点C1 处，点 B 运动到了点 B1 处，又将正方
11、形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点，按顺时针方向旋转 90，按上述方法经过 4 次旋转后，顶点 O 经过的总路程为 ，经过 61 次旋转后，顶点 O 经过的总 路程为 5. 如图，点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P n(xn，y n)均在反比例函数 （x0）的图象上，若1yP1OA1，P 2A1A2，P 3A2A3， PnAn 1An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A 1A2，A 2A3，A n 1An都在 x 轴上（n 是大于或等于 2 的正整数） ，则点 P3 的坐标是_，点 Pn的坐标是_ （用含 n 的代数式表示） P 3P2P1O xy A3A2A16. 二次函数
12、 的图象如图，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A 2，A 3An在 y 轴的正半轴上，点23yxB1，B 2，B 3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C 2，C 3Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3四边形 An-1BnAnCn都是菱形，A0B1A1=A1B2A2=A2B3A3=An-1BnAn=60，菱形 An-1BnAnCn的周长为 - 6 -C1C2C3 (A0)A2A3 B3B2B1A1Oy x7(2015浙江湖州，16，4 分) 已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，
13、以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2，延长 C2D2 到 A2，以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3，(如图所示) ，以此类推，若 A1C12，过点 A，D 2，D 3，D 10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是_ D10C10A9C9D4C4A3C3D322A21C1BDA8. 如图，将正ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成 n 个边长为 1 的小正三角形，若 ，则正ABC 的边长是_mn 47259. 设ABC 的面积为 1，如图 1 将边 BC，AC 分别 2 等分， BE1，AD 1 相交于点
14、 O，AOB 的面积记为 S1；如图 2 将边 BC，AC 分别 3 等分，BE 1，AD 1 相交于点 O，AOB 的面积记为 S2；，依 此类推，则 Sn可表示为_（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数） 图 2图 1 OE2D21D1OE1D1 CB ACB A D3图 E32OD21 E1CB A考点四：坐标系和表格中的规律1 （聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不 断地移动，每移动一个单位，得到点 A1（0，1） ，A 2（1，1） ，A 3（1，0） ，A 4（2，0） ，那么点A4n+1（n 为自然数）的坐标为_（用 n
15、表示） 。 - 7 -2 （抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别是（-1，-1） 、 （0，2） 、 （2，0） ，点P 在 y 轴上，且坐标为（0，-2） 点 P 关于点 A 的对称点为 P1，点 P1 关于点 B 的对称点为 P2，点P2 关于点 C 的对称点为 P3，点 P3 关于点 A 的对称点为 P4，点 P4 关于点 B 的对称点为 P5，点 P5关于点 C 的对称点为 P6，点 P6 关于点 A 的对称点为 P7，按此规律进行下去，则点 P2016 的坐标是 _。3. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“” 方向排列，如(
16、1，0) ，(2 ，0)，(2，1)，(1 ，1)，(1 ，2)，(2，2) ，根据这个规律，第 2 016 个点的坐标为_ 4123y xO3214 （湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是_。5 （恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第 8 行，左起第 6 列的数是_。- 8 -6. 如图，抛物线 y=x2 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A 2，A 3， ，A n将抛物线 y=x2 沿直线 l：y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点 M1，M 2，M 3，M n都在直线 l：y=x
17、 上；抛物线依次经过点A1，A 2，A 3， ，A n则顶点 M2 016 的坐标为（_，_） M12M3A3A2xyA1O课后练习考点一：猜想数式规律1(2015湖北黄冈中学自主招生) 两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，317，11，15，19，23，27，31，35，39第 1 个相同的数是 7，第 10 个相同的数是 ( )A115 B127 C139 D1512(2015浙江宁波)一列数 b0，b 1，b 2，具有下面的规律，b 2n1 b n，b 2n2 b nb n1 ，若b01，则 b2 015 的值是 ( )A1 B6 C9 D193(2015山东德州)
18、一组数 1，1，2，x ，5，y，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为 ( )A8 B9 C13 D154(2013山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律，图形中 M 与m，n 的关系是 ( )AMmn BMn( m1) CM mn1 DMm( n1)- 9 -5(2014贵州毕节)观察下列一组数： ， ， ， ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据1439 516 725 936的第 n 个数是_6. 人民公园的侧门口有 9 级台阶，小聪一步只能上 1 级台阶或 2 级台阶，小聪发现当台阶数分别为 1级、2 级、3
19、级、4 级、5 级、6 级、7 级逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21这就是著名的斐波那契数列那么小聪上这 9 级台阶共有_种不同方法7(2014江苏扬州，18，3 分) 设 a1，a 2，a 2 014 是从 1，0，1 这三个数中取值的一列数，若a1a 2a 2 01469， (a11) 2( a21) 2(a 2 0141) 24 001，则 a1，a 2，a 2 014 中为 0的个数是_8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想422； 1257；633； 1431177；835； 16313511；103755 1851371
20、1；通过这组等式，你发现的规律是_（请用文字语言表达）9. 观察下列等式：第一个等式： ； 第二个等式：12231a；2334第三个等式： ； 第四个等式：445122a4556按上述规律，回答以下问题：（1）用含 的代数式表示第 个等式：nn_=_；a（2）式子 _12320a10. 下面是一个按某种规律排列的数阵：1 第 1 行2 第 2 行563 第 3 行701234 第 4 行13795 根据数阵排列的规律，第 n（n 是整数，且 n3）行从左向右数第 n-2 个数是_考点二：猜想图形规律1(2015广东深圳，9，4 分) 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 5 个
21、图形有_个太阳- 10 -2. 观察下列图形规律：当 n= 时，图形“” 的个数和 “”的个数相等3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：他们研究过图 1 中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的1，4，9，16这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B1 024 C1 225 D1 3784. 如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为 2，4，6，2n，请你探究出前 n 行的点数和所满足的规律若前 n 行点数和为 930，则 n ( )A29 B30 C31 D325.
22、图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2） 、 （3）是由这样的小正方体木块叠放而成，那么图（2）中的小正方形有_块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是_块6 （重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有 1 棵棋子，第个图形一共有 6 棵棋子，第个图形一共有 16 棵棋子，则第个图形中棋子的颗数为 ( )A51 B70 C76 D817(2012浙江丽水，10，3 分) 小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图 1 中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，称为三角形数，类似地，图 2 中的 4，8，12，16，称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )
