1、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种
2、表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果 （k，b 是常数，k 0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。xy特别地，当一次函数 中的 b 为 0 时， （k 为常数，k 0） 。这时，y 叫做 x 的正比例函数。kxy2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线一次函数 y kx b(k0)的
3、图像是经过点（0，b）的直线( b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在 y 轴上的截距)；正比例函数 的图像是经过原点（0，0 ）的直线。 x3、斜率： 12tanyk直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b(k0)由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: 112)()(tanxxbbkxy 由直线在 轴和 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1byax设两条直线分别为， ： ：1l1kxb2l 若2ykxb若 ，则有 且 。 12/l22/点 P（ x0， y0）到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题
4、时，可用 此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点 A 坐标为（x 1，y 1）点 B 坐标为（x 2，y 2）P(x0 y0)bxyy=kx+bA(x1, y1)B(x2, y2) 0da 1)1(20220kbyxkbyxd1212lkABYX则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 2121yx5、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数 k。确定一个一次函数，需要确定一xy次函数定义式 （k 0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。bxy6、 （1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠
5、近于 y 轴。（2）当 k0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高） ；（3）当 k0 时，与 y 轴的交点（0，b）在正半轴；当 b0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k0 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x 0，y 的取值范围是 y 0；当 k0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右ab2增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小ab2值， cy4最 小 值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，ab2顶点坐标是（ ， ） ；c42（3）在对
6、称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简记左ab2增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值9. 抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c（2）抛物线与 轴的交点：二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方xbxay2x1x2程 的两个实数根 .抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式02cba判定：4有两个交点 ( ) 抛物线与 轴相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） ( ) 抛物线与 轴相切；x没有交点 ( ) 抛物线与 轴相离.（3）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同
7、（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横k坐标是 的两个实数根.kcba2（4）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 nxyl 02acbxyG的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时cbak2 l与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGlG反比例函数 的图像与二次函数 的图像的交点，由方程组 0kyx02acbxy的解来确定。2yaxbc（5）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、cbxay2 021， xBA1x是方程 的两个根，故2x02cx ax2121, 22 2121121244bcacABx（ ） （ ） （ ）
