1、“没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解1知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中
2、间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限 0,yx点 P(x,y)在第二象限 点 P(x,y)在第三象限 ,点 P(x,y)在第四象限 yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上 ，x 为任意实数0点 P(x,y)在 y 轴上 ，y 为任意实数点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上
3、 x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x（3
4、）点 P(x,y)到原点的距离等于2知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量 x 的一系列值和
5、函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念“没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解2一般地，如果 （k，b 是常数，k 0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。xy特别地，当一次函数 中的 b 为 0 时， （k 为常数，k 0） 。这时，y 叫做x
6、 的正比例函数。2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 的图像是经过原kxy kxy点（0，0）的直线。k 的符号b 的符号 函数图像 图像特征b0y0 x图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。k0b0y0 x图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小k0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，图像从左之右上升；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上（4）当 b0 k0 时，函数图像的两个分支分别在
7、第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x 0，y 的取值范围是 y 0；当 k0 a 时， y 随 x 的增大而增大，ab2简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小ab2值， cy4最 小 值（3）在对称轴的左侧，即当 x 时， y 随 x 的增大而ab2减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，ab2y 有最大值， cy4最 大 值2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的
8、24x12AxB， ， ， 12()x是一元二次方程 的两根这两点间的距离12x， 20axbca2214AB推导过程：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、cbxay2 021， xBA1x是方程 的两个根，故2x02cbxaa211, acbacbxxxxAB 442221212121 当 时，图象与 轴只有一个交点； 0 当 时，图象与 轴没有交点.x当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；1ax0y“没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解6当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 20axx0y记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的
9、交点坐标。因此一元二次方程中的 ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。ac4b2当 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0 时，抛物线开口向上； 0 时，抛物线开口向下； 的绝对值越大，开口越小a（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线ba cbxy2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在x0b0轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. 口诀 - 左同 右yay异（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbxy2当 时， ，抛物线
10、 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xca2yc ，抛物线经过原点;c ,与 轴交于正半轴；y ,与 轴交于负半轴.0c以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .y0ab知识点十四、中考点击考点分析：内容 要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 “没有学不好的数学”系列之一 初中函数知识点详解75、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用
11、二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占 3-6 分左右一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占 6 分左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值分析近年中考，预计 2014 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用
