1、 1平方根（基础）【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定 0的算术平xa2xxa方根还是 0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方数. aa要点诠释：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 0， 0.2.平方根的定义如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互2xaxaa为逆运算. (
2、0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根. (0)a知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和a2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20|a20a知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数
3、点就相应地向右或者向左移动1 位.例如： ， ， ， .6250656.5.0.625【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念21、下列说法错误的是（ ）A.5是 25的算术平方根 B.l 是 l的一个平方根 C. 的平方根是4 D.0 的平方根与算术平方根都是 0 2【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为 5，所以本说法正确；2B.因为 1，所以 l是 l的一个平方根说法正确；1C.因为 4，所以本说法错误；246D.因为 0， 0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断下列
4、各题正误，并将错误改正： （1） 没有平方根 （ ）9（2） （ ）64（3） 的平方根是 （ ）2()010（4） 是 的算术平方根 （ ）5【答案】 ； ； ， 提示：（2） ；（4） 是 的算术平方根162542、 填空：（1） 是 的负平方根 4（2） 表示 的算术平方根， 616（3） 的算术平方根为 18（4）若 ，则 ，若 ，则 3x23x【思路点拨】 （3） 就是 的算术平方根 ，此题求的是 的算术平方根. 181919【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；3;643【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：3【变
5、式 1】下列说法中正确的有（ ）：3 是 9的平方根 9 的平方根是 34 是 8的正的平方根 是 64的负的平方根8A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B；提示：是正确的.【变式 2】求下列各式的值：（1）3 （2） （3） （4）58160.4.2540.3612【答案】 （1）15；（2）15；（3）0.3；（4） 53、使代数式 有意义的 的取值范围是_ 1xx【答案】 ；【解析】 10，解得 .【总结升华】当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 0， 0.a a举一反三：【变式】代数式 有意义，则 的取值范围是 y3xx【答案】 .x类型二、利用平方根解方程4、求下列各
6、式中的 .x（1） （2） ； （3）2360;x2189x29640x【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将 看1x作一个整体， （3）小题将 看作一个整体，求出它们的解后，再求 .xx【答案与解析】解：（1） 2610x23613619x（2） 117 16 或 18.8989xx（3） 24x2482319x或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2） （3）小题中运用了整体思想分散了难度.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的 3倍，面积是 1323平方米求长和宽各是多少米？
7、【答案与解析】4解：设宽为 ，长为 3 ，x由题意得， 3 13233 132321x21(舍去)答：长为 63米，宽为 21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高） 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若 2 4 与 3 1 是同一个正数的两个平方根，求 的值mm【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到 2 4（3 m1） ，解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 2 4（3 1） ，解得 1； 的值为 1m【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知 2 1
8、 与 2 是 的平方根，求 的值.am【答案】2 1 与 2 是 的平方根，所以 2 1 与 2 相等或互为相反数.a解：当 2 1 2 时， 1，所以 a1当 2 1（ 2）0 时， 1，所以a 2 22()392、 为何值时，下列各式有意义？x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 4x1x13x【答案与解析】解：(1)因为 ，所以当 取任何值时， 都有意义202(2)由题意可知： ，所以 时， 有意义4x4xx(3)由题意可知： 解得： 所以 时 有意义10111x(4)由题意可知： ，解得 且 3xx3所以当 且 时， 有意义1x1x5【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个
9、含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为 0时，式子才有意义举一反三：【变式】已知 ，求 的算术平方根43232baa1b【答案】解：根据题意，得 则 ，所以 2， ，0,.132a 的算术平方根为 1ab1ab类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1) ；(2) 22543A1120.369045【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1) ；2543A92573A(2) 118120.600.65490.261.7【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘
10、除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 .x（1） （2） ； （3）2360;x2189x29640x【答案与解析】解：（1） 2123661x（2） 117 16 或 18.89x189xx（3） 264024832x2149或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2） （3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的 ：x6（1）若 ，则 _； （2） ，则 _；2.1xx2169xx（3）若 则 _；
11、 （4）若 ，则 _9,42【答案】 （1）1.1；（2）13；（3） ；（4）2.32类型四、平方根的综合应用5、已知 、 是实数，且 ，解关于 的方程 ab6|0abx2()1axba【答案与解析】解： 、 是实数， ， ， ，2|2|6a|2|0b ， 260ab 3， 把 3， 代入 ，得 24， 622()1axbaxx【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出 a、 的值，再解方b程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若 ，求 的值210xy2012xy【答案】解：由 ，得 ， ，即 ， 22
12、1xy当 1， 1 时， xy0120120()xy当 1， 1 时， 2 16、小丽想用一块面积为 400 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 的长方2cm2cm形纸片，使它长宽之比为 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.:3【答案与解析】解：设长方形纸片的长为 3 ( 0) ，则宽为 2 ，依题意得 xxcm. 320x.6.25 0，x . 长方形纸片的长为 .350cm7 5049, .507 , 即长方形纸片的长大于 20 .321cm由正方形纸片的面积为 400 , 可知其边长为 20 , 2c 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.
