1、1第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2根据待求式的特点，模仿套用公式；3对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式例题【例 1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为 2000，则这两个连续奇数可以是 ( 江苏省竞赛题)(2)已知(2000 一 a)(1998 一 a)=19
2、99，那么(2000 一 a)2+(1998 一 a)2= (重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000 一 a)(1998 一 a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律一公式从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法乘法公式常用的变形有：(1) ， abba2)(2 2)(2)()( 2baba(2) ；2)(3) ；4)(22（4） ，ab )()(222 ac
3、bcbacba【例 2】 若 x 是不为 0 的有理数，已知 ，)12)(2xxM，则 M 与 N 的大小是（ ） AMN B M0，bo)，丙商场：第一次提价的百分率2ba为 b，第二次提价的百分率为 a，则哪个商场提价最多?说明理由 (河北省竞赛题)思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出 x、y 的值，2由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式常见的方法是：分组、结合，拆
4、添项、字母化等完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1) ；0)(22baa揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题 (2) b应用于代数式的最值问题代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量 【例 5】 已知 a、b、c 均为正整数，且满足 ，又 a 为质数22cba证明：(1)b 与 c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数思路点拨 从 的变形入手； ，运用质数、奇偶数性质证明22c22c学力训练1观察下列各式：(x 一 1)(x+1)x 2 一 l；(x 一 1)(x2+x+1)=x3 一 1；(x 一
5、1)(x3 十 x2+x+1)=x4 一 1根据前面的规律可得(x 一 1)(x n+x n-1+x+1)= (武汉市中考题)2已知 ，则 = (杭州市中考题)052baba3计算：(1)1.23452+0.76552+2.4690.7655： ；(2)19492 一 19502+19512 一 19522+19972 一 19982+19992 = ；(3) 1919784如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b 的恒等式 (大原市中考题)5已知 ，则 = (菏泽市中考题)5241a6已知 ，则代数式 的值为( ),3cbabc2A一 1
6、5 B一 2 C一 6 D6 (扬州市中考题)7乘积 等于( )01)(9()1( 222A B C D (重庆市竞赛题)0904418若 ，则 的值是( ),2yx20yxA4 B2002 2 C 22002 D4 20029若 ，则 的个位数字是( )13241A1 B3 C 5 D710如图，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(ab) ，把余下的部分剪拼成一个矩形3(如图) ，通过计算两个图形(阴影部分) 的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A B)(2baba 22)babaC D (陕西省中考题)2)( (11(1)设 x+2z3z，判断 x2 一 9y2+
7、4z2+4xz 的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由(2)已知 x2 一 2x=2，将下式先化简，再求值： (x1)2+(x+3)(x 一 3)+(x 一 3)(x 一 1) (上海市中考题)12一个自然数减去 45 后是一个完全平方数，这个自然数加上 44 后仍是一个完全平方数，试求这个自然数13观察： 25143296(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算 2000200120022003+1 的结果(用一个最简式子表示) (黄冈市竞赛题)14你能很快算出 19952 吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为 5 的自然数的平方，任意一个
8、个位数为 5 的自然数可写成 l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5) 2 的值，试分析 n=1，n=2，n3这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论(1)通过计算，探索规律152225 可写成 1001(1+1)+25；25 2=625 可写成 1002(2+1)+25；352=1225 可写成 100 3(3+1)+25；45 22025 可写成 1004(4+1)+25；75 25625 可写成 ；85 27225 可写成 (2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5) 2= (3)根据上面的归纳猜想，请算出 19952 (福建省三明市中者题)15已知 ，则 = (天津
9、市选拔赛试题)014622 zyxzyx zyx16(1)若 x+y10，x 3+y3=100，则 x2+y2 (2)若 a-b=3，则 a3-b3-9ab 4171，2，3，98 共 98 个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 (初中数学联赛)18已知 a-b=4，ab+c 2+4=0，则 a+b=( ) A4 B0 C2 D一 219方程 x2-y2=1991，共有( )组整数解 A6 B7 C8 D920已知 a、b 满足等式 ，则 x、y 的大小关系是( )2(,02abybaxAxy Bxy Cxy (大原市竞赛题)21已知 a=1999x+2000，b1999x+2001，
10、c1999x+2002，则多项式 a2+b2+c2 一 abbc-ac 的值为( )A0 B1 C2 D3 (全国初中数学竞赛题)22设 a+b=1，a 2+b2=2，求 a7+b7 的值 (西安市竞赛题)23已知 a 满足等式 a2-a-1=0，求代数式 的值 (河北省竞赛题)487a24若 ，且 ，求证： (北京市竞赛bayx22bayx197197bayx题)25有 l0 位乒乓球选手进行单循环赛 (每两人间均赛一场)，用 xl，y 1 顺次表示第一号选手胜与负的场数；用 x2，y 2 顺次表示第二号选手胜与负的场数；用 x10、y 10 顺次表示十号选手胜与负的场数求证： 210212
11、021 yx26 （1）请观察： 2222 351,351,35,5 写出表示一般规律的等式，并加以证明(2)265 2+12，53=7 2+22，2653=1378，1378=37 2+32任意挑选另外两个类似 26、53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数” 数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘瑞士数学家欧拉曾对 26(2)的性质作了更进一步的推广他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、5乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和即(a2+b2+c2 十 d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2这就是著名的欧拉恒等式 第十八讲 乘法公式参考答案67
