1、1LYR(2010-09-23)“最值问题” 集锦平面几何中的最值问题 01几何的定值与最值 07最短路线问题 14对称问题 18巧作“对称点”妙解最值题 22数学最值题的常用解法 26求最值问题 29有理数的一题多解 344 道经典题 37平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率下面介绍几个简例 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常
2、有两种：（1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。例 1、A、B 两点在直线 l的同侧，在直线 L上取一点 P，使 PA+PB最小。 2分析：在直线 L上任取一点 P，连结 A P，BP，在ABP中 AP+BPAB，如果 AP+BPAB,则 P必在线段 AB上，而线段AB与直线 L无交点，所以这种思路错误。取点 A关于直线 L的对称点 A，则 AP AP，在ABP 中 AP+BP
3、AB,当 P移到 AB与直线 L的交点处 P点时 AP+BPAB，所以这时 PA+PB最小。1 已知 AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形 ABDC的周长最大(图 391)？分析 本例是求半圆 AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为 R由于 ABCD，必有 AC=BD若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形 ABDC的半周长 u=x+y+R的最大值即可 解 作 DEAB 于 E，则 x 2=BD2=ABBE2R(R-y)2R 2-2Ry，所以所以求 u的最大值，只须求-x 2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+2R2=3
4、R2-(x-R)23R 2，上式只有当 x=R时取等号，这时有所以 2y=R=x3所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点 C，D，这时，梯形的底角恰为 60和 1202 .如图 392 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为 8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解 设 x表示半圆半径，y 表示矩形边长 AD，则必有 2x+2y+x=8，若窗户的最大面积为 S，则把代入有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大3. 已知 P点是半圆上一个动点，试问 P在什么位置时，PA+PB 最大(图 393)？分析与解 因为 P点是半圆上的动点，当 P近于 A或
5、B时，显然 PA+PB渐小，在极限状况(P 与 A重合时)等于 AB因此，猜想 P在半圆弧中点时，PA+PB 取最大值设 P为半圆弧中点，连 PB，PA，延长 AP到 C，使 PC=PA，连 CB，则 CB是切线为了证 PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点 P，连 PA，PB，延长 AP到 C，使 PC=BP，连 CB，CC，则PCB=PBC=PCB=45，所以 A，B，C，C 四点共圆，所以CCA=CBA=90，4所以在ACC中，ACAC，即 PA+PBPA+PB4 如图 394，在直角ABC 中，AD 是斜边上的高，M，N 分别是ABD，ACD 的内心，直线 MN交 AB，AC 于 K，
6、L求证：S ABC 2S AKL 证 连结 AM，BM，DM，AN，DN，CN因为在ABC 中，A=90，ADBC 于 D，所以 ABD=DAC，ADB=ADC=90因为 M，N 分别是ABD 和ACD 的内心，所以1=2=45，3=4，所以 ADNBDM，又因为MDN=90=ADB，所以 MDNBDA，所以 BAD=MND由于BAD=LCD，所以 MND=LCD， 所以 D，C，L，N 四点共圆，所以 ALK=NDC=45同理，AKL=1=45，所以 AK=AL因为 AKMADM，所以 AK=AD=AL而而从而所以 S ABC S AKL 5. 如图 395已知在正三角形 ABC内(包括边上
7、)有两点 P，Q求证：PQAB证 设过 P，Q 的直线与 AB，AC 分别交于 P1，Q 1，连结 P1C，显然，PQP 1Q1因为AQ 1P1+P 1Q1C=180，所以AQ 1P1和P 1Q1C中至少有一个直角或钝角若AQ 1P190，则 PQP 1Q1AP 1AB；若P 1Q1C90，则 PQP 1Q1P 1C5同理，AP 1C和BP 1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设BP 1C90，则 P 1CBC=AB对于 P，Q 两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQAB6. 设ABC 是边长为 6的正三角形，过顶点 A引直线 l，顶点 B，C 到 l的距离设为d1，d 2，求 d1+d2的
8、最大值(1992 年上海初中赛题)解 如图 396，延长 BA到 B，使 AB=AB，连 BC，则过顶点 A的直线 l或者与BC相交，或者与 BC 相交以下分两种情况讨论(1)若 l与 BC相交于 D，则 所以 只有当 lBC 时，取等号(2)若 l与 BC 相交于 D，则所以 上式只有 lBC 时，等号成立 7. 如图 397已知直角AOB 中，直角顶点 O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延6长 AO，BO 分别与单位圆交于 C，D试求四边形 ABCD面积的最小值解 设O 与 AB相切于 E，有 OE=1，从而即 AB2当 AO=BO时，AB 有最小值 2从而所以，当 AO=OB时，四边形
9、ABCD面积的最小值为7几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用
10、动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 AP和 PB为边作等边APC 和等边BPD，则 CD长度的最小值为 思路点拨 如图，作 CCAB 于 C，DDAB 于 D，DQCC，CD 2=DQ2+CQ2，DQ= AB一常数，当 CQ越小，CD 越小，1本例也可设 AP= ，则 PB= ，从代数角度探求 CD的最小值 xx0注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等 【例
11、2】 如图，圆的半径等于正三角形 ABC的高，此圆在沿底边 AB滚动，切点为T，圆交 AC、BC 于 M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A从 30到 60变动 B从 60到 90变动C保持 30不变 D保持 60不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点 C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下， 8动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值【例 3】 如图，已知平行四边形 ABCD，AB= ，BC= ( )，P 为 AB边上的一动点
12、，aba直线 DP交 CB的延长线于 Q，求 AP+BQ的最小值思路点拨 设 AP= ，把 AP、BQ 分别用 的代数式表示，运用不等式 xx ab2(当且仅当 时取等号)来求最小值ba【例 4】 如图，已知等边ABC 内接于圆，在劣弧 AB上取异于 A、B 的点 M，设直线AC与 BM相交于 K，直线 CB与 AM相交于点 N，证明：线段 AK和 BN的乘积与 M点的选择无关思路点拨 即要证 AKBN是一个定值，在图形中ABC的边长是一个定值，说明 AKBN与 AB有关，从图知 AB为ABM 与ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定
13、值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例 5】 已知XYZ 是直角边长为 1的等腰直角三角形(Z=90)，它的三个顶点分别在等腰 RtABC(C=90)的三边上，求ABC 直角边长的最大可能值思路点拨 顶点 Z在斜边上或直角边 CA(或 CB)上，当顶点 Z在斜边 AB上时，取 xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z在(AC 或 CB)上时，设CX= ，CZ= ，建立 ， 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值 xyxy注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是
14、：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值学力训练1如图，正方形 ABCD的边长为 1，点 P为边 BC上任意一点（可与 B点或 C点重合） ，分别过 B、C、D 作射线 AP的垂线，垂足分别是 B、C、D，则 BB+CC+DD的最大值为 ，最小值为 2如图，AOB=45，角内有一点 P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R(均不同于点 O)，则PQR 的周长的最小值为 3如图，两点 A、B 在直线 MN外的同侧，A 到 MN的距离 AC=8，B 到 MN的距离BD=5，CD=4，P 在直线 MN上运动，则 的最大值等于 PB 94如图，A
15、 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧 AN的中点，P 点是直径 MN上一动点，O 的半径为 1，则 AP+BP的最小值为( )A1 B C D22135如图，圆柱的轴截面 ABCD是边长为 4的正方形，动点 P从 A点出发，沿看圆柱的侧面移动到 BC的中点 S的最短距离是( )A B C D2124121246如图、已知矩形 ABCD，R，P 户分别是 DC、BC 上的点，E，F 分别是 AP、RP 的中点，当 P在 BC上从 B向 C移动而 R不动时，那么下列结论成立的是( ) A线段 EF的长逐渐增大 B线段 EF的长逐渐减小C线段 EF的长不改变 D线段 EF的长不能确定7如图，点 C是
16、线段 AB上的任意一点(C 点不与 A、B 点重合)，分别以 AC、BC 为边在直线 AB的同侧作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE，AE 与 CD相交于点 M，BD 与 CE相交于点 N(1)求证：MNAB；(2)若 AB的长为 l0cm，当点 C在线段 AB上移动时，是否存在这样的一点 C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定 C点的位置并求出 MN的长；若不存在，请说明理由(2002年云南省中考题)8如图，定长的弦 ST在一个以 AB为直径的半圆上滑动，M 是 ST的中点，P 是 S对AB作垂线的垂足，求证：不管 ST滑到什么位置，SPM 是一定角9已知ABC 是O 的内接三角形，B
17、T 为O 的切线，B 为切点，P 为直线 AB上一点，过点 P作 BC的平行线交直线 BT于点 E，交直线 AC于点 F(1)当点 P在线段 AB上时(如图)，求证：PAPB=PEPF；(2)当点 P为线段 BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由 1010如图，已知；边长为 4的正方形截去一角成为五边形 ABCDE，其中AF=2，BF=l，在 AB上的一点 P，使矩形 PNDM有最大面积，则矩形 PNDM的面积最大值是( ) A8 B12 C D142511如图，AB 是半圆的直径，线段 CA上 AB于点 A，线段 DB上 AB于点B，AB=2；
18、AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB的最大面积是( )A B C D221232312如图，在ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边 AB、AC 上分别取点 D、E，使线段 DE将ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度13如图，ABCD 是一个边长为 1的正方形，U、V 分别是 AB、CD 上的点，AV 与 DU相交于点 P，BV 与 CU相交于点 Q求四边形 PUQV面积的最大值14利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水已知每个喷水器的喷水区域是半径为 l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)
19、，才能使矩形花坛的面积最大?15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)其中，正方形 MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为 800平方米(1)设矩形的边 AB= (米)，AM= (米)，用含 的代数式表示 为 xyxy(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为 40元设该工程的总造价为 S(元)，求 S关于工的函数关系式若该工程的银行贷款为 235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金 73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由(镇江市中考题)
