1、初中数学新人教版八上期考压轴题汇编（三角形部分）一、动点问题：例 1（1）如图 10，在 RtABC 中，ACBC，ACB90，M 为 AB 中点，AF=CE，请判断MEF 的形状. （2）已知：如图 11 在 RtABC 中, AC=BC, C=90，点 D 为 AB 上任一点，DFAC 于 F， DEBC 于 E，M 为 BC 的中点. 判断MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论. 当点 D 在 AB 上运动时，四边形 FMEC 的面积是否会改变,并证明你的结论 当点 D 在 BA 的延长线上运动时，如图 12，中的结论还成立吗？思路点拨：在等腰三角形中，M 为底边 AB 的中点，连结
2、CM 是常用的辅助线解析：（1）MEF 是等腰直角三角形（2）MEF 是等腰直角三角形理由如下：连结 CM，如图 13DFAC 于 F， DEBC 于 E，ACB=90四边形 CEDF 为长方形，DF=CE在 Rt ABC 中，ABAC，ACB90， M 为 AB 中点，A=1=45，CM AB，AM=BM=CM 图 13在 Rt ADF 中，A=45 AF=DF ，AF=CE在AMF 和CME 中AMFCME （SAS ）MF=ME，2=32+CMF=90，3+ CMF=90 ，即EMF=90MEF 是等腰直角三角形当点 D 在 AB 上运动时，四边形 FMEC 的面积不会改变，证明如下：由
3、可知，AMFCME ，S AMF =SCME S ACM =SBCM ，S CMF =SBME ，S 四边形 FMEC=SCMF + SCME = SABC 四边形 FMEC 的面积不会改变成立，理由如下：连结 CM，如图 14DFAC 于 F， DEBC 于 E，ACB=90四边形 CEDF 为长方形，DF=CE在 Rt ABC 中，ACBC，ACB90，M 为 AB 中点，BAC=1=45，CMAB，AM=BM=CMMAF=MCE=135在 Rt ADF 中，DAF=BAC=45AF=DF ，AF=CE在AMF 和CME 中AMFCME （SAS ）MF=ME，AMF= CMECME+AM
4、E=90，AMF+AME=90，即EMF=90 MEF 是等腰直角三角形总结升华：对比（2）中的与，都是先证明四边形 CEDF 是长方形，从而得到 AF=CE，接着证AMF CME，得到 MF=ME，且EMF=90，可以看出这两问的证明思路大体上是相同的也就是说，在这类问题中，可以通过第一问的解决来推测下面问题的推理方法，从而达到解题的目的举一反三【变式 1】已知四边形 中， ， ， ， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于 当绕 点旋转到 时（如图 15） ，易证 当 绕 点旋转到时，在图 16 和图 17 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，
5、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【答案】图 16，延长 EA 到 O，使得 OA=CF，连结 OB，易证ABOCBF ，OB=BF，进而证明BEFBEO，即可得到 EF=AE+CF图 17 中，在 AE 中取一点 O，使得 OA=CF，连结 OB，易证ABOCBF ，OB=BF，进而证明BEFBEO，即可得到 EF=AE-CF【变式 2】已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点 当 绕点 旋转到 时（如图 18） ，易证（1）当 绕点 旋转到 时（如图 19） ，线段 和 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当 绕点 旋转到如图
6、20 的位置时，线段 和 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【答案】此题与第 1 题方法相同（1）BM+DN=MN；（2）DN-BM=MN21如图 1，点 O 是边长为 1 的等边ABC 内的任一点，设AOB= ，BOC= （1）将BOC 绕点 C 沿顺时针方向旋转 60得 ADC，连结 OD,如图 2 所示. 求证：OD=OC。（2）在（1）的基础上，将ABC 绕点 C 沿顺时针方向旋转 60得EAC，连结 DE，如图 3所示. 求证：OA=DE（3）在（2）的基础上， 当 、 满足什么关系时，点 B、O 、D 、E 在同一直线上。并直接写出 AO+BO+CO 的最小值。27已知：如
7、图， 中， ， 于 ，ABC 45CDAB平分 ，且 于 ，与 相交于点 是BEEFH，边的中点，连结 与 相交于点 CDHG（1）求证： ；F（2）求证： ；12（3） 与 的大小关系如何？试证明你的结论CEBG21、 （8 分） 已知：在 ABC 中， AC=BC， ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一点（1）直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图） ，求证： AE=CG；（2）直线 AH 垂直于直线 CE，垂足为点 H，交 CD 的延长线于点 M（如图） ，找出图中与 BE 相等的线段，并证明 25.(1)如图(1)，已知：在ABC
8、中，BAC90,AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m, CE直线 m,垂足分别为点 D、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在ABC 中，A B=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上,并且有BDA=AEC=BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合）,点F 为BAC 平分线上的一点,且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE,若BDA=AEC=BAC，试判
9、断DEF 的形状并说明理由。21如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB =CD，分别以 AB，CD 为边向外侧作等边三角形 ABE 和等边三角形DCF，连接 AF，DE （1）求证：AF=DE；（2）若BAD=45，AB =a， ABE 和 DCF 的面积之和等于梯形 ABCD 的面积，求 BC 的长考点： 等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题： 探究型。分析： （1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明AED DFA 即可；（2）如图作 BHAD，CK AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出 BC 的长解答： （1）证明：在梯形
10、 ABCD 中，ADBC，AB =CD，BAD=CDA，而在等边三角形 ABE 和等边三角形 DCF 中，AB=AE，DC= DF，且BAE=CDF=60，AE=DF，EAD= FDA，AD=DA ，AEDDFA（SAS） ，AF=DE；（2）解：如图作 BHAD，CKAD，则有 BC=HK，BAD=45，HAB=KDC=45，AB= BH= AH，同理：CD= CK= KD，S 梯形 ABCD= ，AB=a，S 梯形 ABCD= = ，而 SABE=SDCF= a2， =2 a2，BC= a点评： 本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于
11、直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目15如图，在等腰ABC 中，ABAC ， BAC50BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则CEF 的度数是 50 考点： 翻折变换(折叠问题)；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。分析： 利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC40 ，以及OBCOCB40，再利用翻折变换的性质得出 EOEC，CEF FEO，进而求出即可解答： 解：连接 BO，BAC50 ，BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，OABABO 25，等腰 ABC 中， ABAC， BAC50，ABCACB
12、65 ，OBC6525 40， ，ABOACO，BOCO，OBCOCB40，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，EOEC， CEF FEO，CEFFEO 50，故答案为：50点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键【9. 2012 泰安】26如图，在ABC 中， ABC=45，CD AB，BE AC，垂足分别为 D，E，F 为 BC 中点，BE 与 DF，DC 分别交于点 G，H，ABE=CBE（1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG 2GE2=EA2考点：
13、全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。解答：证明：（1）BDC=BEC= CDA=90，ABC=45 ，BCD=45=ABC，A+DCA =90， A+ABE=90，DB=DC， ABE=DCA，在 DBH 和DCA 中DBH=DCA， BDH=CDA，BD =CD，DBHDCA，BH=AC（2）连接 CG，F 为 BC 的中点，DB=DC ，DF 垂直平分 BC，BG=CG，ABE=CBE，BEAC，AEB=CEB，在ABE 和CBE 中AEB=CEB，BE=BE， CBE=ABE，ABECBE，EC=EA，在 RtCGE 中，由勾股定理得：BG 2GE2=EA226 （1
14、2 分）在ABCD 中，ADC 的平分线交直线 BC 于点 E、交 AB 的延长线于点 F，连接 AC（1）如图 1，若ADC=90，G 是 EF 的中点，连接 AG、CG求证：BE=BF请判断AGC 的形状，并说明理由；（2）如图 2，若ADC=60，将线段 FB 绕点 F 顺时针旋转 60至 FG，连接 AG、CG那么AGC 又是怎样的形状 （直接写出结论不必证明）考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形专题： 压轴题分析： （1）先判定四边形 ABCD 是矩形，再根据矩形的性质可得ABC=90 ，AB DC，AD BC，然后根据平行线的性质求出F
15、= FDC，BEF= ADF，再根据 DF 是 ADC 的平分线，利用角平分线的定义得到ADF= FDC，从而得到F=BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；连接 BG，根据等腰直角三角形的性质可得F=BEF=45，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，F= CBG=45，然后利用“边角边”证明AFG 和 CBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AG=CG，再求出 GAC+ACG=90，然后求出AGC=90，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接 BG，根据旋转的性质可得BFG 是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出 AF=AD，平行四边形的对角相等求出
16、 ABC=ADC=60，然后求出CBG=60 ，从而得到AFG=CBG，然后利用 “边角边”证明AFG 和CBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得FAG=BCG，然后求出GAC+ ACG=120，再求出 AGC=60，然后根据等边三角形的判定方法判定即可解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABC=90 ，四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，ABDC，ADBC，F=FDC，BEF= ADF，DF 是ADC 的平分线，ADF=FDC，F=BEF，BF=BE；AGC 是等腰直角三角形理由如下：连接 BG，由知，BF=BE，FBC=90，F=B
17、EF=45，G 是 EF 的中点，BG=FG，F= CBG=45，FAD=90，AF=AD，又 AD=BC，AF=BC，在AFG 和CBG 中， ，AFGCBG（SAS） ，AG=CG，FAG=BCG，又FAG+ GAC+ACB=90，BCG+GAC+ACB=90，即GAC+ACG=90，AGC=90，AGC 是等腰直角三角形；（2）连接 BG， FB 绕点 F 顺时针旋转 60至 FG，BFG 是等边三角形，FG=BG，FBG=60，又 四边形 ABCD 是平行四边形， ADC=60，ABC=ADC=60CBG=180FBGABC=1806060=60，AFG=CBG，DF 是ADC 的平分线，ADF=FDC，ABDC，AFD=FDC，AFD=ADF，AF=AD，在AFG 和CBG 中， ，AFGCBG（SAS） ，AG=CG，FAG=BCG ，在ABC 中，GAC+ ACG=ACB+BCG+GAC=ACB+BAG+GAC=ACB+BAC=18060=120，AGC=180（GAC+ACG）=180120=60，AGC 是等边三角形点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键
