1、 例 1：如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEF BEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+ F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=
2、AC ，BAD= CAF=90 ，ABD ACF，BD=CF，BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例 2：如图，已知 ABC 中， AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ABC 是等腰三角形。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助
3、线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件，而且要求证 AB=AC，可倍长 AD 得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE。又因为 AD 是 BC 边上的中线，BD=DC又BDE= CDABEDCAD，故 EB=AC，E=2，AD 是BAC 的平分线1=2，1=E，AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。（3
4、）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3：已知，如图，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为 AC 是BAD 的平分线，所以可过点 C 作BAD 的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作 CEAB 于 E，CFAD 于 F。AC 平分BAD，CE=CF。在 RtCBE 和 RtCDF 中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF
5、+ADC=180，B+ADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例 4：如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连EF 交 BC 于 D，若 EB=CF。求证：DE=DF。思路分析：1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为 DE、DF 所在的两个三角形 DEB 与 DFC 不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E 作 EG/CF，构
6、造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G，则EGB=ACB，又 AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例 5：ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过
7、转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。解答过程：证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+B
8、Q。 解题后的思考：（1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角
9、形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6：如图甲， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE， DCE= ECB。求证： CD=AD+BC。思路分析：1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD 上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答
10、过程：证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图乙 FCE BCE（ SAS），2=1。又 AD BC， ADC+ BCD=180， DCE+ CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在 FDE 与 ADE 中， FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC。试题答案1、分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作 DF BC 于点 F，如图 1-2 Rt ADE Rt C
11、DF(HL)， DAE= DCF。又 BAD+ DAE=180， BAD+ DCF=180，即 BAD+ BCD=1802、分析：与 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 2-2 Rt APE Rt CPD(SAS)， PAE= PCD又 BAP+ PAE=180。 BAP+ BCP=1803、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至 E 使 CE=CD，或在 AB 上截取 AF=AC。证明：方法一（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 3-2AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。又ACB2B，FDBB，FD=FB。
