1、江苏 苏科版2012.1.1数学八年级知识点归纳上册2 / 10第一章 轴对称图形一、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，是两个图形之间的一种关系，而轴对称图形是两部分能完全重合的一个图形。联系：两者都有完全重合的特征，都有对称轴，都有对称点。二、轴对称的性质1、定义垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。2、 把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。3、 把一个图形沿着一条某直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重
2、合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。4、 成轴对称的两个图形全等。如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。三、线段、角的轴对称性1、 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2、 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。3、 角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。角平分线上的点到角的两边距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。四、等腰三角形的轴对称性1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。2、等腰三角形
3、的两个底角相等（简称“等边对等角” ） 。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ） 。4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。5、直角三角形中 30角所对的直角边是斜边的一半。6、三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形 。等边三角形是轴对称图形，并且有 3 条对称轴。等边三角形的每个角都等于 60。7、三条边都相等的三角形是等边三角形。有两个角是 60的三角形是等边三角形。有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。五、等腰梯形的轴对称性1、定义梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称
4、为腰。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴。等腰梯形在同一底上的两个3 / 10角相等。3、等腰梯形的对角线相等；对角线相等的梯形是等腰梯形。4、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。第一章小结轴对称 轴对称性质轴对称图形等腰三角形 等边三角形 等腰梯形角线段线段的垂直平分线到线段两端距离相等的点，在这条线段上的垂直平分线上线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等角平分线角平分线上的点到角的两边距离相等 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等边对等角 等角对等边 直角三角形
5、斜边上的中线等于斜边的一半 等腰梯形的对角线相等 等腰梯形在同一底上的两个角相等 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形4 / 10第二章 勾股定理与平方根一、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做“勾” ，较长的直角边叫做“股” ，斜边叫做“弦” 。结论为：“勾三股四弦五” 。 2+ 2= 2 b1、 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 2+ 2= 2，那么这个三角形是直角三角形。2、 满足 2+ 2= 2的 3 个正整数 a、b、c 称为勾股数。 （例如，3、4、5 是一组勾股数） 。利用勾股数可以构造直角三角形。二、平方根1
6、、定义一般地，如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根，也称为二次方a a根。也就是说，如果 2 ，那么就叫做 的平方根。=a a2、一个正数有 2 个平方根，它们互为相反数； 0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。3、 求一个数 的平方根的运算，叫做开平方。a4、 正数 有两个平方根，其中正的平方根，也叫做 的算术平方根。a a例如：4 的平方根是 ，其中 2 叫做 4 的算术平方根，记作 ；2 的平方根是2 4=2，其中 叫做 2 的算术平方根。2 20 只有一个平方根，0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，即 =00三、立方根1、定义一般地，如果一个数的立方等于 a
7、，那么这个数叫做 a 的立方根，也称为三次方根。也就是说，如果 3=a，那么就叫做 a 的立方根，数 a 的立方根记作“ ”，读作3“三次根号 a”。2、求一个数 a 的立方根的运算，叫做 开立方。3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。四、实数1、无限不循环小数称为无理数 。2、有理数和无理数统称为实数 。3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。五、近似数与有效数字1、例如，本册数学课本约有 100 千字，这里 100 是一个 近似数。2、对一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字止
8、，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。5 / 10第三章 中心对称图形（一）一、图形的旋转1、定义在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小。2、结论旋转前、后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。二、 中心对称与中心对称图形1、定义把一个图形绕着某一点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心。两个图形中的对应点叫做对称点。2、一个图形绕着某一点旋转 180是一
9、种特殊的旋转，因此，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。3、成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。4、把一个平面图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。三、平行四边形1、定义两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形 。平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。2、性质平行四边形的对边相等。平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。3、判断依据一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边
10、形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。四、矩形、菱形、正方形（一）矩形1、定义有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形。矩形通常也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质。2、性质矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角。3、判断依据有 3 个角是直角的四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。一个角是直角的平行四边形是矩形。（二）菱形1、定义有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形。6 / 10菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质。2、 性质菱形的四条边都相等。菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。
11、3、 判断依据四边都相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。一组邻边相等的平行四边形是菱形。（三）正方形1、定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。2、关系：有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。五、三角形、梯形的中位线1、连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。2、连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的
12、一半。矩形菱形正方形平行四边形矩形 菱形正方形7 / 10图形的性质平行四边形 矩形 菱形 正方形对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 第四章 数量、位置的变化一、数量的变化（略）二、位置的变化（略）三、平面直角坐标系1、平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系 。2、水平方向的数轴称为 x 轴或横轴，竖直方向的数轴称为 y 轴或纵轴，它们统称为坐标轴。公共原点 O 称为坐标原点。3、两条坐标轴将平面分成四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。平面内的点就与一对有序实数(点的坐标)建立了一一对应关系。逆时针顺序分别记为第一、二、三、
13、四象限。4、点 P（a，b）关于 x 轴对称的点为（ a，-b） ，关于 y 轴对称的点为（ -a，b） ，关于原点对称的点位（-a，-b） ；x 轴上的点为（x，0） ，y 轴上的点为（0，y） 。例图： 在平面直角坐标系中，有序实数对（a，b）所描述的点 P 的位置：yb P（a，b） 过 x 轴上表示实数 a 的点画 x 轴的垂线，过 y 轴上表示实数 b 的点画这两条垂线的交点，即为点 P。x O a在图中，点 P 的坐标为（a，b） ，其中 a 称为点 P 的横坐标，b 称为点 P 的纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面。5、在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意
14、一点的位置都可以用一对有序实数来表示。这样的有序实数对叫做点的坐标。6、点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如 P（ a，b） ，Q（m，n） 。第五章 一次函数一、函数8 / 101、定义一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么 y 就称为是 x 的函数。其中，x 是自变量，y 是因变量。（补充：在一变化过程中，数值发生变化的量叫变量；始终不变的量叫常量。常量与变量均不带单位。 ）例如： 水库蓄水量是水位的函数（蓄水量随着水位的升高或下降而增大或减小） ；圆面积是半径的函数（S= 2）等。2、表示两个变量之
15、间的关系可以用 3 种方法：表格、图形和数学式子。表示两个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。例如： 汽车油箱内存油 40L，每行驶 100km 耗油 10L,求行驶过程中油箱内剩余油量 Q 升与行驶路程 S 公里的函数关系式。解： Q= 40 -10 ,即 Q= 40 - 100 10在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围。本例题中的自变量取值范围是0S400（存油 40L，每 10L 油可以行驶 100km,即行驶的最大路程 S= 100= 400 公里） 40103、在直角坐标系中，如果描出以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的
16、图像。二、一次函数定义一般地，如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系，可以表示为 y=kx+b（k、b 为常数，且 k0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0 时，y 叫做 x 的正比例函数。例 1： 一盘蚊香长 105cm，点燃时每小时缩短 10cm。（1）写出蚊香点燃后的长度 y（cm）与蚊香燃烧时间 t（h）之间的函数关系式；（2）该盘蚊香可以使用多长时间？解： （1）y=105-10t（2）蚊香燃尽时，即 y=0，由(1)得，105-10t=0，即 t= =10.5 10510 答：该盘蚊香可使用 10.5h。例 2： 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质
17、量成正比。（1） 已知一根弹簧自身的长度为 cm，且所挂物体的质量每增加 1g，弹簧长度增加kcm，试写出弹簧长度 y（cm）与所挂物体质量 x（g）之间的函数关系式；（2）已知这根弹簧挂 10g 物体时的长度为 11cm，挂 30g 物体时的长度为 15cm，试确定弹簧长度 y（cm）与所挂物体质量 x（g）之间的函数关系式。解： （1）根据题意，得函数关系式为:y=kx+b（2）由 x=10 时，y=11，得11=10k+b由 x=30 时，y=15，得15=30k+b解方程组 得， 10+=1130=15 =0.2=99 / 10所求函数关系式为: y=0.2x+9三、 一次函数的图象1
18、、特点一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，且 k0）的图象是一条直线。当 k0，那么 y 随 x 的增大而增大；当 k0，那么 y 随 x 的增大而减小。2、一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，且 k0）的图象与 k、b 的关系： k0，b0 时，直线经过一、二、三象限； k0，b0 时，直线经过一、三、四象限； k0，b0 时，直线经过一、二、四象限； k0，b0 时，直线经过二、三、四象限。3、一般地，正比例函数 y=kx 的图象是经过原点的一条直线，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，且 k0）的图象是由正比例函数 y=kx（k0）的图象沿 y 轴向上（b0）或向下（b0）平
19、移|b|个单位长度得到的一条直线。4、画一次函数的图象时，只要确定两个点的位置，过这两点画直线就可以了。例题： 在平面直角坐标系中，画一次函数 y=-3x+3 的图象。解： 把 x=0 代入 y=-3x+3，得 3 y y=3 把 y=0 代入 y=-3x+3，得 x=1 过点（0，3） 、 （1，0）画一条直线， -2 -1 o 1 2 x这条直线就是函数 y=-3x+3 的图象。 -1 y=-3x+3-25、由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行： 列表、描点、连线。描的点越多，图象越准确。有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结所画的点，从而得到函数的近似的图象。6、两个一次函数
20、的关系：当 k 相等，b 不相等时，这两条直线平行；当 k 不相等的时，这两条直线相交。7、在求一个算式时，若已知所求结果具有某种形式，则可引入一些待确定的系数来表示结果，建立起给定算式和结果之间的恒等式，再根据条件对恒等式变形，确定待定的系数。这种方法称为待定系数法。8、一次函数的一般形式为 y=kx+b （k0） ，根据题中所给的条件，通过待定系数法，确定 k 和 b 值，即可求出一次函数的关系式。9、在解决一些实际问题时，确定一次函数关系式的关键是找到两个变量之间的等量关系，运用一次函数的图象和性质可以把一些实际问题转化成函数问题，列出相应的函数关系式。运用一次函数解决问题时，注意函数的
21、自变量的取值范围要符合实际情况。例题： 洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y（L）与时间 x（min）之间的关系如折线图所示：y/L4010 / 10O x/min4 15根据图象解答下列问题：1 洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？2 已知洗衣机的排水速度为每分钟 19L。求排水时 y 与 x 之间的关系式；如果排水时间为 2 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。分析： 此类问题是常见的生活问题，解决此题的关键是通过阅读和信息的处理进行分析，看清、读懂题意及题目中的数量关系。解： 由图象可知：洗衣机的
22、进水时间是 4min，清洗时洗衣机中的水量是 40L。由于图象经过（15，40） ，排水速度为 19L,设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-19x+b。40=-1915+b，b=325，即 y=-19x+325。排水时间 2min，排水结束时 x=2+15=17。此时，洗衣机的水量为：-1917+325=2L点评： 本题主要考查了数形结合、待定系数、方程等数学思想方法，要注意身边的数学问题，要善于观察，勤于思考，做到把生活实际与数学问题紧密地结合在一起。10、一次函数解决实际问题的步骤：认真分析实际问题中两个变量之间的关系； 若具有一次函数关系，则建立一次函数关系式；利用一次函数的性质解
23、题。四、 二元一次方程组的图象解法1、 定义用两个一次函数图象解二元一次方程组的方法称为二元一次方程组的图象解法。2、 用图象法解二元一次方程组的步骤：转化形式；画出两个函数图象；写出方程组的解。3、 一次函数 y=kx+b 的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx-y+b=0 的一个解；以二元一次方程 kx-y+b=0 的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b 的图象上。4、 将二元一次方程组转化为两个一次函数，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么这个交点的坐标就是这个二元一次方程组的解。 y例题： 利用一次函数的图象解 y=- x+2 y=2x-312二元一次方程组 +2=42=3解： 由 x+2y=4，得 P（2，1）y=- x+2 1 x12由 2x-y=3，得y=2x-3如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y=- x+2 和 y=2x-3 的图象，它们的交点为 P(2，1)。12所以原二元一次方程组的解为 =2=1
