1、 初二年级秋季数学竞赛讲义 第 1 页 共 54 页目 录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中因式分解为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。注：有(*) 标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲 实数（一）第二讲 实数（二）第三讲 平面直角坐标系、函数第四讲 一次函数（一）第五讲 一次函数（二）第六讲 全等三角形
2、第七讲 直角三角形与勾股定理第八讲 株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲 竞赛中整数性质的运用第十讲 不定方程与应用第十一讲 因式分解的方法第十二讲 因式分解的应用第十三讲 考试（未装订在内，另发）第十四讲 试卷讲评初二年级秋季数学竞赛讲义 第 2 页 共 54 页第 1 讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a| 0在数轴上，表示实数 a 的点到原点的距离叫做实数 a 的绝对值，用|a| 来表示设 a 为实数，则 0)(|绝对值的性质：绝对值最小的实数是 0若 a 与 b 互为相反数，则|a| |b|；若|
3、 a|b| ，则 ab对任意实数 a，则|a| a， |a|a|a b|a| |b|， (b0)|a|b|a b|a| b|（2）实数的偶次幂是非负数如果 a 为任意实数，则 0（n 为自然数） ，当 n1 时， 02 2a（3）算术平方根是非负数，即 0，其中 a0. 算术平方根的性质： （a0） 2 |20)(a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如 的式子，被开方数必须为非负数；a4、 推广到 的化简；n5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全
4、平方式或完全立方。初二年级秋季数学竞赛讲义 第 3 页 共 54 页【例题精讲】 专题一：利用非负数的性质解题：【例 1】已知实数 x、y 、z 满足 ，求 xyz 的平方根。0241|212zyzyx【巩固】1、已知 ，则 的值为_；22(6)40xyxyxy2、若 ，0)2(1ab的值)207)(1)2(1)( bab求【拓展】设 a、b、c 是实数，若 ，求 a、b、c 的值1426142cbacba初二年级秋季数学竞赛讲义 第 4 页 共 54 页专题二：对于 的应用(0)a【例 2】已知 x、y 是实数，且 ；yxxy则,321【例 3】已知 、 、 适合关系式： ，xyz yxyx
5、zyxzyx 2023求 的值。【巩固】1、已知 b ，且 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，试求31513aa m14bn的平方根和立方根。)4)(2mn2、已知 ，则 ；142xy yx）（ 32【拓展】在实数范围内，设 ，求 的个位数字。a20141()xxa初二年级秋季数学竞赛讲义 第 5 页 共 54 页专题三： ， 的化简及应用2a3a常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【例 4】化简： 96122xxy【例 5】若实数 x 满足方程 ，那么 ；1x21)x（【巩固】1、若 ， ，且 ，则 ；92a42baba2)( 2)(b2、已知实数 a 满足 a 0，那么
6、；3213、设 4961222xxxy（1）求 y 的最小值（2）求使 6y7 的 x 的取值范围。【拓展】若 ，求 的值。01)13(22 xax2)(a初二年级秋季数学竞赛讲义 第 6 页 共 54 页【课后练习】1、如果 a 0 ，那么 。3a2、已知 和 是数 的平方根，则求 的值 。m12pp3、设 a、b、c 是ABC 的三边的长，则 。22)()(cbacba4、已知 x、y 是实数，且 则 。,1xy 1yy5、若 0 a 1 ，且 ，则 为 。16a的 值a6、代数式 的最小值是 。2xx7、已知实数 满足 ，则 。0192198、已知ABC 的三边长为 、 、 ， 和 满足
7、 ，求 的取值范围。abc 04bac9、已知 ，求 、 、 的值。)(21zyxzyxxyz10、实数 、 、 、 满足 ， ，求 的值。abxy213ax213byxbayx初二年级秋季数学竞赛讲义 第 7 页 共 54 页第 2 讲 实数（二）【知识梳理】一、实数的性质1、设 x 为有理数，y 为无理数，则 xy，xy 都为无理数；当 x0 时，xy， 都是无理数；yx,当 x0 时，xy， 就是有理数了；x2、若 x、y 都是有理数， 是无理数，则要使 0 成立，须使 xy0;mmyx3、若 x、y、m、n 都是有理数， 都是无理数，则要使 成立，须使n, nxy，mn二、实数大小的比
8、较常用方法：直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法三、证明一个数是有理数的方法：证明这个数是一个有限小数或无限循环小数，或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。【例题精讲】 例 1：比较下列两数的大小：（1） （2） （3）62_533262（4） （5）（6）aa2131032523aa1223【巩固】设 ？10397109210abcabc， ， ， 比 较 、 、 的 大 小初二年级秋季数学竞赛讲义 第 8 页 共 54 页例 2：若 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，则 的值为 。53a53ba【巩固】1、已知 为 的整数部分， 是 9 的平方根，且
9、 ，求 的值。a2171babb2、设 的整数部分为 ，小数部分为 ，试求 的值。2(43)xyyx1【拓展】已知： 的整数部分为 m，小数部分为 n， 的整数部分为 a，小数部分为 b，32020试计算： 的值。()(mabn例 3：已知 、 是有理数，且 ，求 、 的值。mnm）25(07)53(nmn初二年级秋季数学竞赛讲义 第 9 页 共 54 页【巩固】1、已知 a、b 是有理数，且 ，求 a、b 的值0329142341231ba2、已知 、 是有理数，并且 、 满足 ，求 的值。xyxy2332yxyx例 4：设 ， ，试用 、 的代数式表示a3b0a9.0【巩固】：已知 ， ， 试用 、 的代数式表示a3b21a28.0初二年级秋季数学竞赛讲义 第 10 页 共 54 页例 5：求证 是有理数 (*)(1)25n 个 个例 6：a 与 b 是两个不相等的有理数，试判断实数 是有理数还是无理数，并说明理由。(*)3ab【拓展】：证明 是无理数。(*)2例 5：若 a、b 满足 的取值范围。|32,7|53basb求【巩固】：已知 ，求 x 和 y 的取值范围；12yx
