1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线
2、的性质定理或逆定理5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1.已知：如图 3 所示，AD 为 ABC 的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD，由图形想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，但它的左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形
3、中去。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，CE 。ED CBA3 图 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ABCDE3图因为 BD=DC=AC，所以 AC=1/2BC因为 E 是 DC 中点，所以 EC=1/2DC=1/2ACACE=BCA，所以BCAACE所以ABC=CAE因为 DC=AC，所以ADC=DACADC=ABC+BAD所以ABC+BAD=DAE+ CAE所以BAD=DAE即 AD 平分BAE应用：二、截长补短例 1.已知：如图 1 所示， AD 为ABC 的中线，且1=2,3=4。求证：BE+CFEF 。分
4、析：要证 BE+CFEF ，可利用三角形三 边关系定理证明，须把 BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 EN，FN ，EF 移到同个三角形中。证明：在 DN 上截取 DN=DB，连接 NE，NF。 延长 FD 到 G , 使 DG=FD, 再连结 EG,BG1、如图， 中，AB=2AC，AD 平分 ，且 AD=BD，求证：CDACABCBAC证明：取 AB 中点 E，连接 DEAD=BDDEAB ，即AED=90【等腰三角形三线合一】AB=2ACAE=AC又EAD=CAD【AD 平分BAC】AD=ADABDEF
5、N图 234EDCBAPQCBAAED ACD（SAS）C=AED=90CDAC2、如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+BD在 AB 上取点 N ,使得 AN=ACCAE=EAN ,AE 为公共边,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN所以ANE=ACE又 AC 平行 BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE 为公共边 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且ABC0604CAP，B
6、Q 分别是 ， 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：做辅助线 PMBQ，与 QC 相交与 M。（首先算清各角的度数）APB=180BAP ABP=1803080=70且APM=180APBMPC=18070QBC（同位角相 等）=1807040=70APB= APM又AP 是 BAC 的角平分线，BAP= MAPAP 是公共边CDBADCBAABPAMP(角边角）AB=AM，BP=MP在MPC 中，MCP=MPC=40MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在QBC 中QBC=QCB=40BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP 4、角平分线如图，在四边
7、形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分，ABC求证： 018延长 BA,作 DFBA 的延长线，作 DEBC1=2DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）在 RtDFA 与 RtDEC 中AD=DC,DF=DERtDFARtDEC（HL)3=C因为4+3=1804+C=180即A+C=180P21D CBA5、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC延长 AC 至 E，使 AE=AB，连结 PE。然后证明一下ABPAEP 得到 PB=PE 备用（角边角证很容易吧）PCE 中，ECPE-PCEC=AE-AC ，AE=ABEC=AB-AC
8、又 PB=PEPE-PC=PB-PCAB-ACPB-PC 应用：三、平移变换OED CBA例1 AD 为ABC 的角平分线，直线 MNAD 于 A.E 为 MN 上一点，ABC 周长记为 ，APEBC 周长记为 .求证 .BPA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.ED CBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD在 AC 上取点 F，使 AF=AEAD 是角 A 的平分线角 EAO角 FAE/AO=AO三角形 AEO 与 AFO 全等（两边夹角相等）EO=F
9、O ，角 AOE角 AOFCE 是角 C 的平分线角 DCO角 FCO角 B60角 A+角 C180 60120角 COD=角 CAO角 OCA角 A/2角 C/2 60 度角 OCF180角 AOF-角 COD18060 6060角 OCF角 CODOC=OC三角形 OCD 与 CFO 全等 （两边夹角相等）CF=CDAC=AF+CFAE+CD即：AE+CD=AC2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab证明：连接 BD,CDDGBC 于 G
10、且平分 BC所以 GD 为 BC 垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,AD 平分 BAC，DEAB 于 E，DFAC 的延长线于 F所以 DE=DF在 RT BED,RTCFD 中DE=DFNMEFACBAFEDCBABD=CDRTBEDRTCFD(HL)BE=CF应用：五、旋转例1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE， AF=AG，所以三角形 AEF 全
11、等于 AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB= BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45 度 例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。做 DPBC ，垂足为 P，做 DQAC ，垂足为 QD 为中点，且ABC 为等腰 RTABCDP=DQ=BC=AC又FDQ=PDE( 旋转）DQF=DPE=90DQFDPES DQF=SDPE又S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+SDPES 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+SDQF=BC*AC=AC（AC=BC=定值）四边形 DECF 面积不会改变EDGFCBA例 3 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，ABCBDC012BDC以 D 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则06的周长为 ；MNB CDNMA我简单说一下过 D 点做 DEAB 的延长线然后证明 DMNDME（注意DBE 实际上是 DCN 旋转后得来的）
