1、1D CBA常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结
2、线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样
3、可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理
4、（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等
5、三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD42EDFCBA例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG
6、中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG 中，由三角形性质知EGBG+BE 故：EFBE+FC例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ED CBA解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC， GDC=ACD由于 DC=AC，故 ADC=DAC在ADB 与ADG 中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D
7、，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = BAC12又AB = ACAEBC2ACB = 90 oBDACDBCACB = 90 o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中 点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD = CD又AB =ACAD 平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一
8、倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和AC 上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证：EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANC21EDCBAFED CBANFECBA3BACBACNANC = 180 o2BCA2ACN = 180 oBCAACN = 90 o即BCN = 90 oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一
9、已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于N，则DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF 和ECF 中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180 o2AEF2AED = 90 o 即FED = 90 o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N， （过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M， （过程略）21N FEDCBA 21MFEDCBANMF EDCBA
