1、初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力图形在动点的运动过程
2、中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方
3、向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式建立函数解析式。三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。专题二：动态几何型压轴题动态
4、几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、 以动态几何为主线的压轴题。（一）点动问题。 （二）线动问题。 （三）面动问题。二、解决动态几何问题的常见方法有:1、特殊探路，一般推证。2、动手实践，操作确认。3、建立联系，计算说明。三、专题二总结，本大类习题的共性：1代数、几何
5、的高度综合（数形结合） ；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数2以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。2 以双动点为载体，探求结论
6、开放性问题。3 以双动点为载体，探求存在性问题。4 以双动点为载体，探求函数最值问题。双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例 1.如图
7、，已知在矩形 ABCD 中，AD=8，CD=4，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CD 方向以每秒 2 个单位长的速度移动，当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动设点 E 移动的时间为 t（秒） （1 ）求当 t 为何值时，两点同时停止运动；（2 ）设四边形 BCFE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3 ）求当 t 为何值时，以 E，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4 ）求当 t 为何值时， BEC=BFCAB CDEFO例 2. 正方形 边长为 4
8、， 、 分别是 、 上的两个动点， 当 点在ABCDMNBCDM上运动时，保持 和 垂直，（1 ）证明： ；Rtt （2 ）设 ，梯形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；当 点运动xyx到什么位置时，四边形 面积最大，并求出最大面积；AB（3 ）当 点运动到什么位置时 ，求此时 的值MRttAN x例 3.如图，在梯形 中， 动ABCD35425BADCAB ， ， ， ， 点 从 点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从M N点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动设运动的时间为 秒C t（09 年济南中考） （1 ）求 的长。（2 ）当 时，求
9、 的值N t（3 ）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tMN例 4.如图，在 RtAOB 中，AOB90，OA3cm，OB4cm ，以点 O 为坐标原点建立坐标系，设 P、 Q 分别为 AB、 OB 边上的动点它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间为 t（0 t4）（1 ）求 AB 的长，过点 P 做 PMOA 于 M，求出 P 点的坐标（用 t 表示）（2 ）求OPQ 面积 S（cm 2） ，与运动时间 t（秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3 ）当 t 为何值时， OPQ 为直角三角形？（4 ）若点 P 运
10、动速度不变，改变 Q 的运动速度，使OPQ 为正三角形，求 Q 点运动的速度和此时 t 的值.yAOMQPB xA DCB MNDMAB CN例 5：如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域 (即自变量 的xyx x取值范围).(3)如果PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧
11、 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= OP=2.321(2)在 RtPOH 中, , 26xPHO.23612xOHM在 RtMPH 中,. =GP= MP= (0 6).y322361x(3)PGH 是等腰三角形有三种可能情况:GP=PH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符266x合题意.GP=GH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,但不符3612x0x0合题意.PH=GH 时, .综上所述,如果PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 或 2.6例 6.如图 2,在ABC 中,AB=AC=1
12、,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= CE= .,xy(1)如果BAC=30,DAE=105,试确定 与 之间的函数解析式； yx(2)如果BAC 的度数为 ,DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中与 之间的函数解析式还成立?试说明理由.yx解:(1)在ABC 中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75,CAE=ADB, ADBEAC, ,ACBDE2222 36149xxP HMN G PO AB 图 1 xyAEDCB图 2 , .1xy(
13、2)由于DAB+CAE= ,又DAB+ADB=ABC= ,且函数关系式成立,290 = , 整理得 .290290当 时,函数解析式 成立.xy1例 7.如图,在ABC 中,BAC=90,AB=AC= ,A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点 B、C 不重合),设 BO= ,AOC 的面积为 .y(1)求 关于 的函数解析式,yx(2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当O 与A 相切时,AOC 的面积.解:(1)过点 A 作 AHBC,垂足为 H.BAC=90,AB=AC= , BC=4,AH= BC=2. OC=4- .221x , ( ).HCSAO14xy0(2
14、)当O 与A 外切时,在 RtAOH 中,OA= ,OH= , . 解得 .x222)()1(x67此时,AOC 的面积 = .y674当O 与A 内切时,在 RtAOH 中,OA= ,OH= , . 解得 .1x222)()1(xx27x此时,AOC 的面积 = .y74综上所述,当O 与A 相切时,AOC 的面积为 或 .672AB CO图 8H动点练习题答案例 1. 解：（1）当 B，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图 2 所示（1 分）由题意可知：ED= t，BC=8，FD= 2t-4，FC= 2tED BC，FED FBC FDECB 解得 t=4248t当 t=4 时，两
15、点同时停止运动；（3 分）（2 ） ED=t，CF=2t， S=S BCE + SBCF = 84+ 2tt=16+ t212即 S=16+ t2 （0 t 4） ；（6 分）（3 ） 若 EF=EC 时，则点 F 只能在 CD 的延长线上，EF 2= ，2()516tttEC2= ， = t=4 或 t=0（舍去） ；42216若 EC=FC 时，EC 2= ，FC 2=4t2， =4t2 ；4t 43若 EF=FC 时，EF 2= ，FC 2=4t2，2()5 =4t2t 1= （舍去） ，t 2= 2516t6831683当 t 的值为 4， ， 时，以 E，F ，C 三点为顶点的三角形
16、是等腰三3角形；（9 分）（4 ）在 RtBCF 和 RtCED 中，BCD=CDE=90， ，2BDRtBCF RtCEDBFC=CED （10 分）ADBC， BCE=CED若BEC= BFC，则BEC=BCE即 BE=BCBE 2= ， =641680t21680tt 1= （舍去） ，t 2= 33当 t= 时，BEC =BFC （12 分）例 2. 解：（1）在正方形 中，ABCD图 2AB CDEF，490ABCDBC， ，MN，90，在 中， ，Rt AM，tBC （2 ） ，tRN ，4AxMCN， 2x，2 22141180ABCNxySxx梯 形 当 时， 取最大值，最大值
17、为 102x（3 ） ，90M要使 ，必须有 ，AB ABNM由（1）知 ，NC，当点 运动到 的中点时， ，此时 AB 2x例 3.解：（1）如图，过 、 D分别作 KC于 ， DHBC于 ，则四边形ADHK是矩形 3A在 RtB 中， 2sin454BA2cos45KA在 RtCDH 中，由勾股定理得， 2543HC 310BNDACDB M（图）A DCB K H（图）A DCB G MN（2 ）如图，过 D作 GAB 交 C于 点，则四边形 ADGB是平行四边形 MNAB 3 107C由题意知，当 、 运动到 t秒时， 102NtMt， DG N 又 M C即 10257tt解得， t
18、（3 ）分三种情况讨论：当 NCM时，如图，即 102tt 10t当 MNC时，如图，过 N作 EMC于 90DH ， E 即 53t 28t当 MNC时，如图，过 M作 FCN于 点. 12FNCt 90FDH ，A DCB MN（图） （图）A DCB MNH E（图）A DCB HNMF MFCDH 即10235tt 67t综上所述，当 1t、 58t或 6017t时， MNC 为等腰三角形例 4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-tPQBC BPQ BDC 即 BQDP45t920t当 时，PQBC3 分920t（2）过点 P 作 PMBC，垂足为 MBPMBDC 4 分35t)5(3tP = 5 分tS1)(3t81)2(0t当 时，S 有最大值 6 分52（3 ） 当 BP=BQ 时， ， 7 分t55t当 BQ=PQ 时，作 QEBD ，垂足为 E，此时，BE= 251tBPBQEBDC 即 9 分BDQC42t3当 BP=PQ 时，作 PFBC ，垂足为 F, 此时，BF= 21tQBPFBDC 即 11 分PF542tt340 ， ， ，均使PBQ 为等腰三角形 12 分1403t25t31t
