1、初二数学 第二章 轴对称图形知识点一、轴对称与轴对称图形（1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成_；（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如_能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形1下列图形是轴对称图形吗？请你试着画出它们的对称轴二、轴对称的性质及轴对称图形的画法成轴对称的两个图形中，对应点的连线被_垂直平分；2如图，已知ABC 和直线 l，画出ABC 关于直线 l 的对称图形3如图所示，由小正方形组成的“7”字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形三、线段、角的轴对称性（1）线段是轴对称图形，是它的对称轴；线段垂直平分线上的
2、点到的距离相等；到距离相等的点在线段的垂直平分线上（2）角是轴对称图形，是它的对称轴；角平分线上的点到的距离相等；到距离相等的点在角的平分线上考查试题：4如图，在ABC 中，AC=7，DE 垂直平分 AB，分别交 AB、AC 于点 E、D，BCD 周长为 9，则BC=_5如图，AB=AC=5cm，BC=3cm，A=40，点 A 和点 B 关于直线 l 对称，AC 与 l 相交于点 D，则C =， BDC 的周长等于cm6如图，有张村 A、李村 B、王村 C，这三个村庄共建一个水泵站 D，使得水泵站 D 到 A、B 两村的距离相等，且使 C 村到水泵站 D 的管线最短，试确定水泵站 D 的位置7
3、如图，ABC 中，AF 平分BAC 交 BC 于 F，FDAB 于 D，FEAC 于 E，求证：AF 垂直平分DE四、等腰三角形的性质与判定（1）等腰三角形的性质：；（2）等腰三角形的判定：；8如图，D 为ABC 内一点，CD 平分ACB，BECD，垂足为 D，交 AC 于点 E，A=ABE若AC=5，BC=3，则 BD 的长为 （ ）A2.5 B1.5 C2 D1第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图第 8 题图9如图，在ABC 中，B 与C 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E 若 AB=5，AC=4，则ADE 的周长是10已知：如图
4、，点 C、D 在ABE 的边 BE 上，BC =ED，AB=AE求证：AC=AD五、等边三角形的性质与判定及直角三角形的性质（两个一半）（1）等边三角形的性质：；（2）等边三角形的判定：；（3）两个一半：；11如图，在ABC 中，AB=AC =8，AD 是底边上的高，E 为 AC 中点，则 DE=12一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西 20的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距 （ ）A30 海里 B40 海里 C50 海里 D60 海里13如图，四边形 ABCD 中，DAB=BCD=90，M 为 BD 中点，
5、N 为 AC 中点求证：MNAC14已知：在AOB 和COD 中，OA =OB，OC= OD（1）如图，若AOB=COD=60 ，求证：AC=BD；APB=60（2）如图，若AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等量关系式为， APB 的大小为（直接写出结果，不证明）15如图，小明将三角形纸片 ABC（ABAC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图） ，再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图） 小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由第 9 题图第 10 题图第 11 题图第 12 题
6、图第 题图第 13 题图16如图，在ABC 中，BAC=90，AB =AC，点 D 在 BC 上，且 BD=BA，点 E 在 BC 的延长线上，且CE=CA（1）试求DAE 的度数（2）如果把原题中“AB =AC”的条件去掉，其余条件不变，那么DAE 的度数会改变吗？为什么？课后练习1.1 一辆汽车的车牌号在水中的倒影是 ，那么它的实际车牌号是：2如图，在ABC 中，C=90，AD 平分BAC ，若 AB=6，CD=2，则ABD 的面积是3如图是两块完全一样的含 30角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点 M 转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点 C已知
7、AC=2，则这块直角三角板顶点A、A 之间的距离等于4如图，三角形纸片 ABC 中，B=2 C ，把三角形纸片沿直线 AD 折叠，点 B 落在 AC 边上的 E 处，那么下列等式成立的是 （ ）AAC=AD+BD BAC=AB+BD CAC =AD+CD DAC=AB+CD5如图所示，在ABC 中，AB=AC ，D、E 是ABC 内两点，AD 平分BACEBC= E=60 ，若BE=6，DE=2，则 BC 的长度是 （ ）A6 B8 C9 D106如图的方格纸上画有 AB、CD 两条线段，按下列要求作图：（1）请你在图（1）中画出线段 AB 关于 CD 所在直线成轴对称的图形；（2）请你在图（
8、2）中添上一条线段，使图中的 3 条线段组成轴对称图形，请画出所有情形（1） （2）7某小区有三栋豪华住宅楼，如图所示，A、B、C 为三栋住宅楼，它们之间有笔直的小路连接，中间是一块绿地，他们计划在这块地上建一座凉亭，且凉亭到三条道路的距离相等，请你用尺规作出这样的凉亭P 的位置 （保留作图痕迹，不写作法）8如图：在 RtABC 中，AB=AC ，BAC =90，O 为 BC 的中点（1）写出点 O 到ABC 的三个顶点 A、B、C 距离之间的关系；（2）如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动，移动中保持 AN=BM，请判断OMN 的形状，并证明你的结论9如图，在ABC 中，A=2 C
9、 ，D 是 AC 上的一点，且 BDBC ，P 在 AC 上移动（1）当 P 移动到什么位置时，BP=AB；（2）求C 的取值范围10如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB=105，BOC=将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转60得ADC，连接 OD（1）试判断COD 的形状，并说明理由（2）AOD 能否成为等边三角形？如能，请求出 的值；如不能，请说明理由11如 图 ， 设 BAC=（ 0 90） .现 把 小 棒 依 次 摆 放 在 两 射 线 之 间 ， 并 使 小 棒 两 端 分 别 落 在 射 线AB， AC上 从 点 A1 开 始 ， 用 等 长 的 小 棒 依 次 向 右 摆
10、 放 ， 其 中 A1A2 为 第 一 根 小 棒 ， 且 A1A2=AA1（ 1） 小 棒 能 无 限 摆 下 去 吗 ？ 答 ： ( 填 “能 ”或 “不 能 ”)（ 2） 若 已 经 摆 放 了 3 根 小 棒 ， 则 1 =_， 2 =_， 3=_； （ 用 含 的 式 子 表 示 ）（ 3） 若 只 能 摆 放 4 根 小 棒 ， 求 的 范 围 .12如图 1，点 P、Q 分别是等边 ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外） ，点 P 从顶点 A、点 Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接 AQ、CP 交于点 M（1）求证：ABQ CAP；（2）当点 P、Q 分别在
11、 AB、BC 边上运动时，QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数参考答案知识点 1：轴对称、图形的两部分1、略知识点 2：对称轴2、略；3 略知识点 3：线段的垂直平分线、线段的两端点、线段的两端点、角平分线所在的直线、角两边、角两边4、2；5、70、8；6、略；7、角平分线上点到两边距离相等FD=FE DAF=EAF AF 公共边所以有DAFEAF所以 AD=AE设 DE 与 AF 交于点 G又DAF=EAFA
12、G 公共边 ADGEAGDG=EG AGD=AGE=180/2=90即 AF 垂直平分 DE知识点 4：等边对等角，三线合一；等角对等边8、D 9、9； 10、 （很简单，就略了吧！注意多种方法 ）知识点 5：三角都等于 60 度；三边相等的三角形是等边三角形、三角都相等的三角形是等边三角形、有两个角是 60 度的三角形是等边三角形、有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半30 度所对的直角边是斜边的一半11、4； 12、B； 13、证明：连接 CM，AM，DAB=BCD=90，M 为 BD 中点，CM=1/2BD=AMAMC 为等腰三角形N 为 AC
13、中点，MNAC14、证明：在AOB 和COD 中 OA=OB， OD=OC，AOB=60?， COD=60AOB+BOC=COD+BOCAOC=BODAOCBOD AC=BD OAC=OBD，APB=AOB= 60（2） APB=证明：由AOCBOD 可以得到OAC= OBD，利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个外角的和”可以证明即BPC =OBD+BOC+OCA=OAC+BOC+OCA=180-，又APB =180-BPC，APB=15、：（1）同意如图，设 AD 与 EF 交于点 G由折叠知，AD 平分BAC，所以BAD=CAD 又由折叠知，AGE=DGE，AGE+DGE =180， 所
14、以AGE=AGF =90， 所以AEF=AFE所以 AE=AF， 即AEF 为等腰三角形16、 （1）AB=AC，BAC=90 B=ACB=45 BD=BA BAD=BDA= （180- B）=67.5 12CE=CA CAE=E= ACB=22.5 在ABE 中， BAE=180-B-E=112.5DAE=BAE-BAD=112.5-67.5=45（2）不改变 设 CAE=x CA=CE E=CAE=xACB=CAE+E=2x 在ABC 中， BAC=90 B=90-ACB=90-2x BD=BA BAD=BDA= （180- B）=x +45 12在ABE 中，BAE=180- B-E=1
15、80-(90-2x）-x=90+x DAE=BAE-BAD =（90+x）- （x +45） =45课后练习：1、 MT9527； 2、6； 3、1； 4、B; 5、B ; 6、略； 7、略8、 （1） 、OA= OB=OC(2）OMN 是等腰直角三角形 证明：连接 OA，AC= AB，BAC =90，OA=OB ，OA 平分BAC，B=45 ， NAO=45， NAO=B，在NAO 和MBO 中， AN=BM ，NAO= B ，AO =BO ，NAO MBO，ON=OM，AON= BOM，AC=AB，O 是 BC 的中点，AOBC，即 BOM+AOM=90，AON+AOM=90，即NOM=9
16、0 ，OMN 是等腰直角三角形9、解：（1）BDBC，DBC 是直角三角形，当 P 移动到 DC 的中点时，DP= PC=BP，C=PBC，APB=C+ PBC=2C，又A=2C ， A=APB，ABP 是等腰三角形， BP=AB；（2）根据三角形的外角性质，在ABD 中， BDCA，BDC+C=90， A+C90， 即 2C+C90， 解得C30 10、COD 是等边三角形理由：OCD=60，OC=DC，OCD 是等边三角形ODC=60， ADC=AOB=105， ADO=45，AO=AD，则 AOD=45，AOC=105，=360-2105=150 ，OA=OD，则 AOD=90， =36
17、0-105-90-60=105，DA=DO，则 AOD=1/2(180-45)=67.5，=360-(105+60+67.5)=127.5当 为 150或 105或 127.5时，AOD 是等腰三角形由知，ADO=45，AOD 不能成为等边三角形设 AC 与 OD 相交于 P，ADO=45， DAC=45，CBO=DAC=45，在 ACD 中，ADC=105，ACD=30，BCO=ACD=30，=180-(CBO+BCO)=10511、 （1）能 （2）小木棒长度都相等，A1A2A=， A2A3A1=1，由三角形外角性质，1=A1A2A+ =2，2=+1=+2=3；依此类推，3=4 ， 4=5，只能摆放 4 根小木棒，590 4+4180 ，解得 1822.512、 （1）证明：ABC 是等边三角形ABQ=CAP，AB=CA，又 点 P、Q 运动速度相同，AP=BQ，ABQCAP（SAS ） ；（2）解：点 P、Q 在运动的过程中， QMC 不变理由：ABQCAP，BAQ=ACP，QMC=ACP+MAC，QMC=BAQ+MAC=BAC=60（3）解：点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动时，QMC 不变理由：ABQCAP， BAQ=ACP，QMC=BAQ+APM，QMC=ACP+APM=180-PAC=180-60=120
