1、八年级数学勾股定理竞赛试卷（时间：120 分钟，总分：120 分）一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1、ABC 周长是 24，M 是 AB 的中点 MC=MA=5，则ABC 的面积是（ ）A12; B16; C24; D302、如图，在正方形 ABCD 中，N 是 CD 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMB=MBC，则 AM：AB=（ ）A ; B ; C ; D312163第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图3、如图，已知 O 是矩形 ABCD 内一点，且 OA=1，OB=3，OC=4，那么 OD 的长为（ ）A.2; B.2 ; C.2 ; D.3234、如图，P
2、为正方形 ABCD 内一点，PA=PB=10，并且 P 点到 CD 边的距离也等于 10，那么，正方形 ABCD的面积是（ ）A200; B225; C256; D150+10 25、如图，矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AB、AC 上各取一点 N、M，使得 BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）A12; B10 ; C16; D20 2二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 第（5）题图6、如图，ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有 10 个不同的点 ，记1021,P（i = 1，2， ，10） ，那么， CPBAMiii 2 1021M=_。第（6）题图 7、
3、如图，设MPN=20，A 为 OM 上一点，OA=4 ，D 为 ON 上一点，OD=8 ，C 为 AM 上任一点，B 是33OD 上任意一点，那么折线 ABCD 的长最小为_。第（7）题图 第（8）题图8、如图，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形 ABCD 的面积=_。9、若 x + y = 12，那么 的最小值=_。9422yx10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题（共 70 分）11、 （本题 10 分）如图ABC 三边长分别是 BC=17，CA=18，AB=1
4、9，过ABC 内的点 P 向ABC 三边分别作垂线 PD，PE，PF，且 BD+CE+AF=27，求 BD+BF 的长度。12、 （本题 15 分）如图，在ABC 中，AB=2，AC= ， A=BCD=45，求 BC 的长及BDC 的面积。313、 （本题 15 分）设 a,b,c,d 都是正数。求证： adbacbdca 22222 14、 （本题 15 分）如图，四边形 ABCD 中， ABC=135，BCD=120，AB= ，BC=5- ，CD=6，求63AD。15、 （本题 15 分）如图，正方形 ABCD 内一点 E，E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为 ，求62此正方形的边
5、长。答案一、选择题1C2A3B4C5C解答：1MA=MB=MC=5， ACB=90知周长是 24，则 AC+BC=14，AC +BC =10 ，222ACBC=(AC+BC) -(AC +BC ) = 14 -10 =4242 41BCASBC2如图，延长 MN 交 BC 的延长线于 T，设 MB 的中点为 O，连 TO，则BAMTOBAM：MB=OB：BTMB =2AMBT （1）2令 DN=1，CT=MD=k，则 AM=2 k 所以 BM= 222)(4AMBBT= 2 + k 代入（1） ，得 4 + (2 k ) = 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 34所以 AM：A
6、B= ：2 = 33如图，过 O 作 EFAD 于 E，交 BC 于 F；过 O 作 GHDC 于 G，交 AB 于 H设 CF=x，FB = y, AH = s, HB = x, 所以 OG=x, DG = s所以 OF =OB - BF =OC -CF 即 4 - x = 3 - y22222 2所以 x - y = 16 9 =7 （1）同理有 OH =1 - s = 3 - t所以 t - s = 3 - 1 = 8 （2）22又因为 OH +HB =OB 即 y + t = 9（1）-（2）得(x +s ) (y + t ) = 12所以 OD =x + s = (y + t ) 1
7、 = 9 1 = 822所以 OD=24如图，过 P 作 EFAB 于 E，交 CD 于 F，则 PFCD所以 PF=PA=PB=10，E 为 AB 中点设 PE = x，则 AB=AD=10 + x所以 AE= AB= (10 + x)21在 RtPAE 中，PA =PE +AE22所以 10 = x + (10 + x ) 所以 x = 6212所以正方形 ABCD 面积=AB =(10 + 6) = 2565如图，作 B 关于 AC 的对称点 B ，连 A B ， 则 N 点关于 AC 的对称点 N 在 A B 上，这时，B 到 M 到 N 的最小值等于 BMN 的最小值，等 于 B 到
8、 A B的距离 BH ，连 B 与 A B 和 DC 的交点 P， 则 = 2010=100，APS21由对称知识，PAC=BAC=PCA所以 PA=PC， 令 PA=x，则 PC=x，PD=20 x，在 RtADP 中，PA =PD +AD22所以 x = (20 x ) + 10 所以 x = 12.52因为 = PABHABPS1所以 BH = 165.20二、填空题140；212；3 ；45413；56，8，10 或 5，12，13解答：1如图，作 ADBC 于 D，在 RtABD 和 RtAP D 中，AB =AD +BDi2222PAii所以 222)(PABBii PCDii i
9、i)(2所以 所以422ABAiii 4iM所以 0121M1 如图，作 A 关于 ON 的对称点 A ，D 关于 OM 的对称点 D ， 连结 A B，CD ，则 A B=AB，C D=CD，从而 AB+BC+CD=A B+BC+CD A D 因为A ON=MON=MOD =20，所以A OD =60 又因为 OA =OA=4 ，OD =OD=8 ，33所以 OD =2OA即OD A 为直角三角形，且OA D =90 所以 A D = 12)4()8(22 O所以，折线 ABCD 的长的最小值是 123如图，作 PMAB 于 M，PNBC 于 N，设 AB = m, PM = x, PN =
10、 y，则)3(9)(21422yxm由（2） 、 （3）分别得，（3）2（4）92xy将（1）代入（4）得 ;23032mymy将（1）代入（5）得 ;552xx把 x,y 的表达式分别代入（1）得 01724因为 m 0 所以 m =5+222所以 AB= 25,25,5ADBC所以 341)(21ADSABC4如图，AB=12，AC=2，BD=3，且 ABAC，ABBD，P 在 AB 上且 PA=x，PB=y，连 PC，PD，在 RtCAP 和 RtDBP 中 9,422yPBDx如图，P 点在 位置时，PC+PD 的值最小，为线段 CD 的长度，而0CD= 132)(所以 的最小值为 1
11、3。9422yx5设三边长为 a,b,c，其中 c 是斜边，则有)3(2122abc（2）代入（1）得 即22)(ba0)84(ba因为 ab0 所以 ab 4a 4b + 8 = 0所以 (a,b 为正整数)48ba所以 b 4 = 1，2，4，8，所以 b = 5，6，8，12；a = 12，8，6，5；c = 13，10，10，13，所以，三边长为 6，8，10 或 5，12，13三、解答题1如图,连结 PA,PB，PC，设 BD=x，CE=y，AF=z，则 DC=17-x，EA=18 y，FB = 19 z在 RtPBD 和 RtPFB 中，有 22)19(PFzPDx同理有： 22)
12、18(7EyPFzEy将以上三式相加，得 222)19()8()17( zyxzx 即 17x + 18y + 19z = 487又因为 x + y + z = 27，所以 x = z 1,所以 BD + BF = x + (19 z ) = z 1 + 19 z = 182如图，作 CEAB 于 E，则 CE=AE= 26AC所以 BE=AB-AE=2 - 4又 22BEC所以 BC= 16272BEC再过 D 作 DFBC，交 CB 延长线于 F，并设 DF=CF=x，则 BF= x BC = x + 1 - 又 RtDFBRtCEB，所以 DF：BF=CE：BE，即 x：(x + 1 -
13、 ) = 6264:所以 x = 263所以 46923)16(1DFBCS2 如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形 ABCD，在 RtABE 中，BE= 2AE所以 BE= cdadca)(22 在 RtBCF 中，BF= abbCFB2)(222在 R tDEF 中，EF= 2cDFE在BEF 中，BE+EFBF即 abdacbdca 22222 3 如图，过 A 作 AEBC 交 CD 于 E，则1=45，2=60，过 B 作 BFAE 于 F，作 CGAE 于 G，则 RtABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为 AB= ，BC=5- ，63所以 BF=A
14、F= AB= ，所以 CG=BF= ，23所以 CE= CG=2，EG= CG=1331所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过 D 作 DMAE 延长线于 MMED=180-AED=180-BCD=180-120=60所以 EM= DE=2，DM= DE=2213在 RtAMD 中，AD= 192)3()26(22 DMA5如图，以 A 为中心，将ABE 旋转 60到AMN，连 NB，MB，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为 AE=AN，NAE=60所以 AE=NE所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC当 AE+EB+EC 取最小值时，折线 MNEC 成为线段，且 MC=，MBC=15062在 RtPMC 中，设 BC=x，PM= xPBx23,所以 2)()62( 所以 x = 2, BC=2
