1、射影面积法（ ）cosS射 影原q=凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos ）求出二面角的大小。斜射S例 1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中，ADBC,ABC=90，SA平面 ABC，SA=AB=BC=1，AD= 2 .求面 SCD 与面 SAB 所成的角的大小。解法 1：可用射影面积法来求，这里只要求出 SSCD 与 SSAB 即可，故所求的二面角 应满足 = cos= = 。1236例 2 （2008 北京理）如图，在三棱锥 中，PABC， ，ACB90AC， P（）求证： ；（）求二面角 的大小；ACB
2、P图 1SDCBA解：（）证略（） ， ， ACBPACBP 又 ， P又 ，即 ，且 ，90 平面 取 中点 连结 E， ABAP是 在平面 内的射影，CCACE 是ABE 在平面 ACP 内的射影，于是可求得： ， ，22CBB 62AEB则 ，2ECA 11EASCE射 3621SB原设二面角 的大小为 ，则P3cos原射S二面角 的大小为BAC3ar练习 1： 如图 5，E 为正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦值.（答案：所求二面角的余弦值为 cos= ）.32ACBEPA1D1B1C1EDBCA图 52
3、. 如图一，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，PABCDABPABCD, , 分别是 的中点.2APBCEF， ，(1)证明： 平面 ；（2）求平面 与平面 夹角的大小.EF题（1）解略；题（2）中平面 与平面 夹角即为平面 与平PEF面 所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.如图一： 平面 ， 平面 , .PABCDABCDP又 , 平面 .,BC又 平面 , 平面 平面 .P由题（1） ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 .EFEFBEF所以 是所求二面角的平面角.,2 221,2PACABPsin,.4
4、BFPBF即平面 与平面 夹角为 .E方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取 的中点 ，连接 .BCG,FE分别是 的中点， .,EF,ADP,ABGP又 ,平面 平面 .GB二面角 的大小就是平面 与平面 夹角的大小.EFBEFAP可以证明 为二面角 的平面角，并求出其大小为 .G4方法三：射影法利用公式 ，其中 表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积， 表示cosS S此多边形在另一个半平面射影的面积， 表示原图形与射影图形所成的二面角.如图三：取
5、 的中点 ，连接 ,PBHFA为 中点, .FC,CEB由解法一知， 平面 ,平面 ， 平面 ,AP点 、 在平面 内的射影分别为 、 .EBA在平面 上的射影为 .H可以证明 和 均为直角三角形.F,1,2HCCBA四边形 为平行四边形， .EF记平面 与平面 夹角为 ，则 ,BEP2cosBAHEFS所以 ，即平面 与平面 夹角为 .443.已知 是正三角形， 平面 ABCABCPA且 PA=AB=a,求二面角 A-PC-B 的大小。思维 二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作EPCBAF平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角
6、。解 1：（三垂线定理法）取 AC 的中点 E，连接 BE，过 E 做 EF PC,连接 BF平面 ABC，PA 平面 PACPA平面 PAC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC=ACBE 平面 PAC由三垂线定理知 BF PC为二面角 A-PC-B 的平面角BFE设 PA=1,E 为 AC 的中点，BE= ,EF=234tan =6EF=argtanB解 2：（三垂线定理法）取 BC 的中点 E，连接 AE，PE 过 A 做 AF PE, FM PC,连接FMAB=AC,PB=PCAE BC,PE BCBC 平面 PAE,BC 平面 PBC平面 PAE 平面 PBC, 平面 PAE
7、平面 PBC=PE由三垂线定理知 AM PC为二面角 A-PC-B 的平面角FMA P CBA EF M图 1图 2设 PA=1，AM= ,AF=2721.PEAsin =FMA74=argsin 2解 3：（投影法）过 B 作 BE AC 于 E,连结 PE平面 ABC，PA 平面 PACPA平面 PAC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC=ACBE 平面 PAC是 在平面 PAC 上的射影PECB设 PA=1,则 PB=PC= ,AB=12,41PECS7PBC由射影面积公式得， ,7cosarg,7PBCESO4.在单位正方体 中，1ABD求二面角 的度数。CPCBA E图 3一、三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角，进而求解。解法一. 作 取 的中点 ,1,AOCBM连结 .M11ABC由三垂线逆定理知 1OAC为所求二面角 的平面角M1B在 中 1RtAC163AC32sinO60AM二射影法利用斜面面积和射影面积的关系： （ 为斜面与射影所成二面角Scos射 影 斜 面的平面角）直接求解。解法二、取 的中点 ，连结ACGB1B在平面 上的射影为1A11AGC12RtBCSA A1 D1 B1 C1GD CBA1平 面1平 面124AGCRtAS由 11tBCcosAA 12cos从而二面角 的大小为 60
