1、1北师大版高中数学必修 5 第一章数列全部教案第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2
2、）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.二、教学重点： 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一） 、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有 100 根，在其上一层（称作第二层）码放了 99 根，第三层码放了 98 根，依此类推，问：最多可放多少层？第 57 层有多少根？从第 1 层到第 57 层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律实际上我们要研究的是这样的一列数象这样
3、排好队的数就是我们的研究对象数列（二） 、推进新课合作探究折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折 5、6 次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为 1 长度单位，面积为 1 面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？2生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，256，；随着对折数面积依次为 , , , , ,.21486251生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的 256 倍，其面积为原来的分 1256 式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会
4、更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.教师精讲1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复 出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项)，第 2 项，第 n 项，.同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中中， “2”是这个数列的第
5、1 项(或首项)， “16”是这个数列中的第 4 项.为表述方便给出几个名称：项-数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-其中数列的第一项也称首项.通项-数列的第 n 项叫数列的通项以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6 是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.
6、例如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第 23项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.4、通项公式法:如数列 的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它
7、表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项例如，数列 的通项公式 ，则 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一知识拓展师 你能说出上述数列中的 256 是这数列的第多少项？能否写出它的第 n 项？生 256 是这数列的第 8 项，我能写出它的第 n 项，应为 an=2n.例题剖析例 1.根据下面数列 an的通项公式，写出前 5 项：(1)an= ;(2)an=(-1)nn.1师 由通项公式定义可知，只要将
8、通项公式中 n 依次取 1，2，3，4，5，即可得到数列的前 5 项.生 解：(1) n=1,2,3,4,5.a1= ;a2= ;a3= ;a4= ;a5= .6(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.师 好！就这样解.例 2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，；(2) ， ， ， ， ，；31568910(3)0，1，0，1，0，1，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，；4(5)2，-6，12，-20，30，-42，.师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生
9、一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1) an2 n1；(2) an ；(3) an ；)12(2)1(n(4)将数列变形为 10，21，30，41，50，61，70，81， an n；(5)将数列变形为 12，-23，34，-45，56， an(-1) n+1n(n1).2)(1n师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.（三） 、学生课堂练习：课本本节练习 1、2、3、4补充题：已知数列a n的通项公式是 an=2n2-n，那么( )A.30 是数列 an的一项 B.44 是数列a n的一项C.
10、66 是数列a n的一项 D.90 是数列 an的一项分析：注意到 30，44，66，90 均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决. 答案：C点评：看一个数 A 是不是数列a n中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数 n，使得 an=A.（四） 、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。（五） 、布置作业课本习题 1-1A 组 1、2、3、4。五、教后反思：5第二课时 1.1.2 数列的
11、函数特性一、教学目标 1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） ；理解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） ；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。三、教学方法：讲授法为主四、教学过程（一） 、导入新课师 同学们，昨天我们学习
12、了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列a n的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师 你能举例说明吗？生 如数列 0，1，2，3，的通项公式为 an=n-1(nN*);1,1,1 的通项公式为 an=1(nN*,1n3);1, , , ,的通项公式为 an= (nN*).41教师进一步启发上面数列 an=n-1、a n= 与函数 有什么关系？你能用图象1(),()fxfx直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。（二）新知探究1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数
13、所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列合作探究 同学们看数列 2，4，8，16，256，中项与项之间的对应关系，6项 2 4 8 16 32 序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1，2，3， n)的函数 an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数 y=f(x)，如果 f(i)(i=1、2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f(n),.师 说的很好.如果数列 an的
14、第 n 项 an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.合作探究 师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数)定义域 R 或 R 的子集 N*或它的有限子集1，2， n解析式 y=f(x) an=f(n)图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10; 1, , , ,的图象.2134生 根据这数列的通项公式画出数列、的图象为师 数列 4，5，6，7，8，9，10,的图象与我们学过的什么函数的图象有关
15、？生 与我们学过的一次函数 y=x+3 的图象有关.师 数列 1, , , ,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？213生 与我们学过的反比例函数 的图象有关.xy1师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于 y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于 y 轴的右侧 的点.2、数列的表示法7数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，用 表示第 项，依次写出成为（1）列举法: 简记为 一个函数的直观形式是其图
16、象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象） ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫做数列的通项公式（3）通项公式法:如数列 的通项公式为 ；
17、的通项公式为 ；的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项例如，数列 的通项公式 ，则 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ，再给定 ，便可依次求出各项再如数列 中， 8，这个数列就是
18、 像这样，如果已知数列的第 1 项（或前几项） ，且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可可由学生举例，以检验学生是否理解（三） 、例题探析例 1、判断下列无穷数列的增减性。 （1）2,1,0，-1，3-n, ； （2）。23,4nA学生探究交流，教师准对问题讲评并引导学生归纳方法。 【答案：（1）递减数列；（2）递增数列】例 2、作出数列 ，的图像，并分析数列的增减性。11,()24862nKY124O 1 2 3 4 5 X12解析：如图是这个数列的图象，数
19、列各项的值正负相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的。（四） 、学生练习：课本本节练习 1、2（五） 、课堂小结：1、探究结论；2、数列与函数有什么关系？（六） 、作业布置：习题 1-1 A 组第 5、6、7 题五、教后反思：9第三课时 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前 n 项和与 的关系na2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。二、教学重点：根据数列的递推公式写出数
20、列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系三、教学过程.课题导入复习引入数列及有关定义.讲授新课数列的表示方法1、 通项公式法如果数列 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数a列的通项公式。如数列 的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象） ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看10到
21、数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活 奎 屯王 新 敞新 疆 用其来解决一些实际问题观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一：自上而下：第 1 层钢管数为 4；即：1 41+3第 2 层钢管数为 5；即：2 52+3第 3 层钢管数为 6；即：3 63+3第 4 层钢管数为 7；即：4 74+3第 5 层钢管数为 8；即：5 85+3第 6 层钢管数为 9；即：6 96+3第 7 层钢管数为 10；即：7 107+3若用 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 n7）a 1(3na运用每一层的钢筋数与其层数之间
22、的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 奎 屯王 新 敞新 疆 这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。即 ； ；41a152a5623a依此类推： （2n7）n对于上述所求关系，若知其第 1 项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列 的第 1 项（或前几项） ，且任一项 与它的前一项 （或前 nnana1na项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为： )83(,5,32121 naan数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列
