1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有 400 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 “勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程 a + b= c的正整数组( a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那么a+b=c ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 。勾股定理的逆
2、定理命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】 （赵爽证明）以 a、b 为直角边（ba） ， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab. 把这四个直角三角形拼成如图21所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 . .【证法2】 （课本的证明）做8个全等的直角三角形
3、，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 .【证法3】 （1876年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直
4、角三角形，它的面积等于 .又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC.ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 . .【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3
5、和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。 ”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。 ”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易
6、懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。 ”证法。【证法4】 （欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于 ，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = .同理可证，矩形 MLEB 的面积 = . 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 ，即 .【证法5】 （利用相似三角形性质证
7、明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作CDAB，垂足是 D.在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 .同理可证，CDB ACB，从而有 . ，即 【证法6】 （邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF
8、. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 . . .【证法7】 （利用切割线定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c.如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a.因为BCA = 90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线. 由切割线定理，得= = = ，即 ， .【证法8】 （作直角三角形的内切圆证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 作 RtABC 的内切圆O，切点分别为 D、E、F（如图） ，设O 的半径为 r. AE = AF，BF = BD，CD = CE，= = r + r = 2r,即 ， . ，即 ， ， ，又 = = = = ， ， ， ， .
