1、勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1，则 AB 的值是（ ）22ACBA.2 B.4 C.6 D.82.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_4.一根旗杆于离地面 12 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步m16 ，旗杆在断裂之前高多少 ？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这棵树
2、折断之前的高度是 米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 4000 米处,过了 20 秒,飞机距离这个男孩头顶 5000 米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18 ，底面周长为 60 ，在外侧距下底 1 的点 C 处cmccm有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3 ，AB=4 ，BD=12 。求 CD 的长.cmcm9. 如图，在四边形 ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求 AB 的长.10
3、. 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午
4、10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？“路”4m3m第 2 题图第 5 题图第 7 题图第 9 题图第 8 题图5m13m第 11 题图第一课时答案：1.A，提示：根据勾股定理得 ，所以 AB =1+1=2；12ACB22ACB2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 ，而 3+4-5=2 ，所以他们少走了 4 步.m3.，提示：设斜边的高为 ，根据勾股定理求斜边为 ，再1360x 136952利用面积法得， ；1360,2154. 解：依题意，AB=16 ，AC=12 ，在直角三角形 ABC 中,由勾股定理,222 016ACB所以 BC=20 ,20+12=32( ),m故旗杆
5、在断裂之前有 32 高.5.8 6. 解:如图,由题意得,AC=4000 米,C=90,AB=5000 米,由勾股定理得 BC=(米 ),3045022所以飞机飞行的速度为 (千米/小时)5467. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CEAB 于 E.在 R ，EF=18-1-1=16（ ） ，90,CEFt cmCE= ，)(360.21cm由勾股定理，得 CF= )(3416022c8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得 543222ABC在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.9. 解：延长
6、 BC、AD 交于点 E.（如图所示）B=90，A=60，E=30又CD=3，CE=6，BE=8，设 AB= ，则 AE=2 ，由勾股定理。得x 38,)2(2xx10. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，则AB 就是最短路线 . 在 RtADB 中，由勾股定理求得 A B=17km11.解：根据勾股定理求得水平长为 ，m12532地毯的总长 为 12+5=17（m），地毯的面积为 172=34（ ，)铺完这个楼道至少需要花为：3418=612（元）12. 解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时，走了 12 千米，即 OA
7、=12乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 OB=5在 RtOAB 中， AB2=122十 52169 ，AB =13，因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米1513， 甲、乙两人还能保持联系ABDP NAM第 10 题图O AB勾股定理的逆定理（2）一、 选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A.9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，943,152.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三个内角比为 121 B.三边之比为 12 5C.三边之比为 2 D. 三个内角比为
8、123353.已知三角形两边长为 2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A. B. C. D.以上都不对21004或4. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）71541520(A)B(C)DA B C D二、填空题5. ABC 的三边分别是 7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为 9、12、15 的三角形，其面积为 .7.已知三角形 ABC 的三边长为 满足 ， ，则此三角形为 三角cba,18,0abc形.8.在三角形 ABC 中，AB=12 ，AC=5 ，BC=13 ，则 BC 边上的高
9、为 AD= .mmcm三、解答题9. 如图，已知四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4 ，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积.10. 如图，E、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，CE= 41BC，F 为 CD 的中点，连接 AF、 AE，问AEF 是什么三角形？请说明理由.11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所
10、经路程都是 15m，求树高 AB.12.如图，为修通铁路凿通隧道 AC，量出A=40B50，AB5 公里，BC4 公里，若每天凿隧道 0.3 公里，问几天才能把隧道 AB 凿通？第 9 题图FEACBD第 10 题图BACD.第 11 题图18.2 勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.C ；3.C，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=当 6 为斜边时，第三边为直角边 = ；4. C；;10262 2462二、5.90提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为90.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为 7.直.5419角，提示：；
11、2222 8610,10,10)( cbababa 得8. ，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得36；AD325三、9. 解：连接 AC，在 RtABC 中，AC2=AB2BC 2=324 2=25， AC =5.在ACD 中， AC 2CD 2=2512 2=169，而 AB 2=132=169， AC 2CD 2=AB2， ACD=90故 S 四边形 ABCD=SABC S ACD = ABBC ACCD= 34 512=630=36 .121210. 解：由勾股定理得 AE2=25，EF 2=5，AF2=20， AE 2= EF2 +AF2，AEF 是直角
12、三角形11. 设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x ）米，BC 为 5 米，(x+10) 2+52=(15-x)2，解得 x=2，10+x=12（米）12. 解：第七组， .132,1)7(2,1572 cba第 组，n)(, ncnb勾股定理的逆定理 （3）一、基础巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的 是（ ）A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 3452.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB
13、 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 18 图 1825 图 18263.如图 1825，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S 2、S 3，且S1=4，S 2=8，则 AB 的长为_.4.如图 1826，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=AD，试判断EFC 的形状.45.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图 18276.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k 2+
14、1（k1） ，求证：ABC 是直角三角形.二、综合应用7.已知 a、 b、c 是 RtABC 的三 边长，A 1B1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A 1B1C1 是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图 1828，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD.求证：ABC 是直角三角形 . 图 1828 9.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1） ，B （2，4） ，OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图 1829 10.已知：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+33
15、8=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状 .12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积 .图18210参考答案一、基础巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的 是（ ）A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D.答案：D2.如
16、图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm， D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 1824解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E,则 DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形，AB=DE.D=120， CDE=30.又在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.35102AB= cm.351023.如图 1825，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S 2、S 3，且S1=4，S 2=8，则 AB 的长为_.图
17、 1825 图 1826思路分析：因为ABC 是 Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为S3=AB2,所以 AB= .313S答案：4.如图 1826，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=AD，试判断EFC 的形状.41思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E 为 AB 中点，BE=2.CE 2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE 2+EF2=CF2,EFC
18、 是以CEF 为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB 和DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD 中，AB 2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD 为直角三角形，A =90.在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC 是直角三角形， CDB =90.因此这个零
19、件符合要求.6.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k 2+1（k1） ，求证：ABC 是直角三角形.思路分析：根据题 意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：k 2+1k21,k 2+12k=(k1) 20,即 k2+12k，k 2+1 是最长边.(k 21) 2+(2k )2=k42k 2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形 .二、综合应用7.已知 a、 b、c 是 RtABC 的三 边长，A 1B1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A 1B1C1 是直角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的
20、倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证）.解：略8.已知：如图 1828，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD.求证：ABC 是直角三角形 . 图 1828思路分析：根据题意，只要判断三边符 合勾股定理的逆定理即可.证明：AC 2=AD2+CD2，BC 2=CD2+BD2，AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD） 2=AB2.ABC 是直角三角形 .9.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1） ，B （2，4） ，OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 1829思
21、路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA、AB 、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB 是否是直角三角形即可.解： OA 2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA 2+AB2=O B2.OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b 2c2=a4b 4，试判断ABC 的形状 .解：a 2c2b 2c2=a4b 4，(A)c 2(a2b 2)=(a2+b2)(a2b 2)，(B) c2=a2+b2， （C)AB
22、C 是直角三角形.问：上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 _；错误的原因是 _；本题的正确结论是_.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B) 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时ABC 是等腰三角形； ABC 是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状 .思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为 0；(
23、3) 已知a、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b 2 24b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b12) 2+(c13) 2=0.(a 5) 20,(b12) 20,(c13) 20.a 5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a 2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形 .12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.图 18210思路分析：（1）作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABD
24、EDB（ASA） ；(2)DE=AB=4，BE=AD=3 ，EC=EB =3；(3)在DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；(4) 利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又EC=EB=3,DBC 为等腰三角形，DB=DC=5. 在 BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA 是直角三角形 .它们的面积分别为 SBDA= 34=6;SDBC= 64=12.11S
25、四边形 ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.CBAD勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为 S1=4.5，S 2=8，S 3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。2.求知中学有一块四边形的空地 ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要 200 天，问学校需要投入多少资金买草皮？3.（12 分）如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长。4.如图，一个牧童在小河的南
26、4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5.（8 分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，5 2=12+13，7 2=24+25 92=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：13 2= + （2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。6.如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB， BC=6，AC=8， 求 AB、CD 的长D CBA7.在数轴上画出表示 的点（不写作法，但要保留画图痕迹）178.已知如图，四边形 ABCD 中，B =90，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积9.如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD 的面积。D CBAAB小河东北牧童 小屋_A_B _C_D
