1、 书后部分习题解答P21 页3 （3） （ ）nnba21lim1,b知识点：1）等比级数求和 （共 n 项）)1(12 qaqqnn2）用 P14 例 4 的结论：当 时，0limn解： nnba21limabn1li5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：设 为正常数， ，a0x)(21nnx证：由题意， ， （数列有下界）n axannn 21)(1又 （因 ） （数列单调减少）0)(21 nnnn xxax n1由单调有界定理，此数列收敛；记 ，对 两边取极限，得bnlim)(21nnxax，解得 （负的舍去） ，故此数列的极限为 .)(21baaP35 页 4.（8）极限
2、 21)(limxnnx 211)(lixnx211)(li nCnnnx2)(21Cn(若以后学了洛必达法则（ 型未定型），则021)(limxnnx）)(li)1(2lim111 xnnxx书后部分习题解答 2P36 页8.已知当 时， ，求常数 . 0x1cos)1(312xaxa知识点：1）等价无穷小的概念；2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。解：由题意： 得1321limcos)1(li03120 axxax 23或 13)1()(2li1cos)(lim312320320 aaxxxaxx（根式有理化）P42 页 3（4）关于间断点： xf1sin)(为第二
3、类间断点0x说明： 不存在（在 的过程中，函数值不稳定，不趋向与 ）i1lm0P43 页 7（1）证明方程 在 内必有一实根。42x)21,(知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理证明：设 ，易知， 在 上连续； （注:设函数，闭区间）xf)()(f,0， ，012)(f故由根的存在定理，至少在 内存在一点 ，使 ，1,0)(f即方程 在 内必有一实根.42x)2(P61 页3.设 存在，求：)(0xf（1） （2）xfx)(lim00 hxfxfh )()(lim00（3） tfft )(3(li00分析：因 存在，则极限 的值为 。)(0xf xffx)(li00 )(0xf把
4、（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式解：（1） xffx)()lim00 )()(lim000 xfxffx （2） hxfxfh )()(lim00 hxfxffxfh )()(lim0000 )1()(li 0000 ffffh)(2)()(000xffxf（3） tfxft)3(lim00 )(33lim0ftt 8.用导数的定义求 在 处的导数.（可参看 P51 例 1-2）0,)1ln()xxf 知识点：1）导数在一点 处的定义： ；0 xfffx)(lim0002）点 处的左右导数的定义与记号：0x左导数 xfffx )(li)( 000右导数 fffx )(lim)( 000
5、3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。解：因 （先写出 处的函数值）)0(f 又 10li)0(li0 xxffxx（在 处的左导数定义）)ln(im)(lim)( 00 fff xx（在 处的右导数定义）而 1)()(fff故10.设函数 ，为了使函数在 处连续且可导， 应取什么值？,2xbaxf 1xba,题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。解：由题意，函数在 处连续，则 ，即1)(0()(ffflim)(li)01(211xffx，得bax )( 1又函数在 处可导，则1x)1(ff而 21)lim)(lim)( 00 xxff xx（用到
6、了 ）abafff xx (li1(li100 1b故 ,2ba书后部分习题解答 3（关于隐函数求导）P62 页14 设 ，求 .032yxey 0xdy分析：1）隐函数求导；2）由 代入方程要求出 的值。y解：方程两边对 求导：得：032)1( dxydxyex 23yxex又由 代入方程，得 ，所以：0110x20.已知 ，求 ， .)sin(2yx)1,0(dxy)1,0(2y要点：求隐函数二阶导数的方法。解：方程两边对 求导：（1）02)cos()1( dxydxy把 代入式（1），解得,0yx )1,0(（或由式（1）解得： （2）xydxy)cos(22再把点代入得 ）1),0(（
7、求隐函数二阶求导的方法）方法 1：式（1）两边对 求导，（记 ， ）xydxy2 02)cos()cos(2)sin(2 yyyx 把 ， 代入，得1,01),0(dx 2)1,0(24dxy（代入： ）0)(22 y方法 2：式（2）对 求导：，2222 )cos( 1)sin()cos( xyyxyydx 点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有 0 处的值）即可.P62 页 15 题.利用对数求导法求导（3） xy12说明：1）一定要用对数求导法求导；2）取对数后，先化简.解：取对数： （化简）)1ln()l(21lnl x两边对 求导：xxy所以： （ 代入）)12(22y y书后部
8、分习题解答 4（关于中值定理与未定式极限）P82 页1检验罗尔定理对函数 是否成立？)3(2)(xxf分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件；2）若符合， 是否存在？解：易知 在1,2,2,3上连续，（1,2），（2,3）内可导，且)3(2)1(xxf，故符合罗尔定理的条件。03)1(f又由 ，得 ，故有12xxf 32)2,1(;0)(1f，符合罗尔定理的结论.)3,(;0)(22f故罗尔定理对函数 成立。)(2)1xxf4.(3)证： baarctnrt证：设 ，当 时，等式成立；xf)(若 ，则易知 在 上连续，在 内可导，则由拉格朗日定理bafarct)(,),(ba存在 ，使,( 1
9、)()2bffb取绝对值，得 abab)(1rctnart 2同理 ，可证btt综合：有 aarcnrt6.设函数 在闭区间1,2上可微，证明： ，其中 .)(xf 2)(3)1(2ff21提示：对 ， 用柯西中值定理.f2xg8.证明： ，其中 .)43arcos(r3xx 21x题型：证明函数为常数；用到的知识：书 78 页定理 3.4（3）的结论，若 ，则 .( )0)(fCxf)(0xf证明：设 ，则4arcos(r)( 3xxxf ，)12)3(132f整理，当 ， ，故 ，又x0)xfCxf230(f所以： ，当 .)4arcos(r331P89 页（用洛必达法则求极限时，可以适当
10、的化简、整理等，目的简化计算）2（3） xxtanlim2解： xxx cos3iltli22xcos)1(3lim2（用到连续性与极限的运算，相当于 代入）3sinlm2xx（5） )0(ili0x解： xmxx sincolsinlim00 1coslil 00 xx（整理，等价无穷小的代换）3.（2） （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）)1(cotli0x解： = （用了等价无穷小的代换）mxxsincoli0 20sinclimxx2)(sli0 x4.（3） （幂指函数的极限）xx)1ln(i0解： =xxlim0 )1ln(im0xe先求 0)ln(im1)(lni1)l(
11、li)l(i 02000 xxxxxxx（用到 ， 时， ，无穷大量的倒数为无穷小）ln)1l( l故 im00exx（4） x)arct2(l解：)arctn2l(imtnli xxxxe而 21arctnlim1)l(rt)li)arct2l(imxxxxx (用到 ， )2arctn)1(li2xx )(li2x arctlix故 2tlimexx7.试确定常数 ，使得 .ba, 2)()1lnim20xbax解：因 ， 220)()1lnimxbax xbax2)(1lim0又 ，上式分母 ，且极限存在，则必须分子 021bxa得 ；则a= ，得xbx2)(1lim0 22)1(lim
12、0 bxx 5书后部分习题解答 4（关于中值定理与未定式极限）P82 页1检验罗尔定理对函数 是否成立？)3()1(xxf分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件；2）若符合， 是否存在？解：易知 在1,2,2,3上连续，（1,2），（2,3）内可导，且)3(2)1(xxf，故符合罗尔定理的条件。03)1(f又由 ，得 ，故有12xxf 32)2,1(;0)(1f，符合罗尔定理的结论.)3,(;0)(22f故罗尔定理对函数 成立。)(2)1xxf4.(3)证： baarctnrt证：设 ，当 时，等式成立；xf)(若 ，则易知 在 上连续，在 内可导，则由拉格朗日定理bafarct)(,),(b
13、a存在 ，使,( 1)()2bffb取绝对值，得 aa)(rctnart 2同理 ，可证bbtt综合：有 abarcnrt6.设函数 在闭区间1,2上可微，证明： ，其中 .)(xf 2)(3)1(2ff21提示：对 ， 用柯西中值定理.)(xf2xg8.证明： ，其中 .)43arcos(r3xx 21x题型：证明函数为常数；用到的知识：书 78 页定理 3.4（3）的结论，若 ，则 .( )0)(fCxf)(0xf证明：设 ，则4arcos(r)( 3xxxf ，)12)3(132f整理，当 ， ，故 ，又x0)xfCxf230(f所以： ，当 .)4arcos(r331P89 页（用洛必
14、达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算）2（3） xxtanlim2解： xxx cos3iltli22xcos)1(3lim2（用到连续性与极限的运算，相当于 代入）3sinlm2xx（5） )0(ili0x解： xmxx sincolsinli00 1coslil 00 xx（整理，等价无穷小的代换）3.（2） （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）)1(cotlim0x解： = （用了等价无穷小的代换）xxsincoli0 20sinclimxx02sinlim2cos)in(coslim00 xxxx4.（3） （幂指函数的极限）xx)1ln(i0解： =xxli0)
15、1ln(im0xe先求 0)ln(im1)(lni1)l(li)l(i 02000 xxxxxxx（用到 ， 时， ，无穷大量的倒数为无穷小）ln)1l( l故 im00exx（4） x)arct2(l解：)arctn2l(imtnli xxxxe而 21arctnlim1)l(rt)li)arct2l(imxxxxx (用到 ， )2arctn)1(li2xx )(li2x arctlix故 2tlimexx7.试确定常数 ，使得 .ba, 2)()1lnim20xbax解：因 ， 220)()1lnix xx)(li0又 ，上式分母 ，且极限存在，则必须分子x 021bxa得 ；则a= ，得xbx2)(1lim0 22)1(lim0 bxx 5
