1、圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题1.已知方程 的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）21xykA. B. C. D.2.双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线上一点，满足 ，直线2(0)abb（ 12F,P21|PF|与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ）1PF22xyA. B. C. D.543 353.过双曲线 的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）21yxA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条4.等轴双曲线 与抛物线 的准线交于 两点， ，则双曲线 的实轴长等于（ 22:a216yxA,B43（C）A. B. C.4 D.85.已知双曲线 的一条渐近线的方程
2、为 ，则双曲线的焦点到直线的距离为( )xym219-=yx53=A2 B. C. D.6.若直线过点 与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线有（ ）(3,0)24936xy-A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条7.方程 表示双曲线的充要条件是（ ）21()xykkR（A. 或 B. 33C. D. 2二、填空题8.过原点的直线，如果它与双曲线 相交，则直线的斜率的取值范围是 .134yx9.设为双曲线 上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 214xy-=10.过双曲线 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲2(,0)ab线的右顶点，则双曲
3、线的离心率等于 .11.已知双曲线 的渐近线与圆 有交点，则该双曲线的离心率的取值21()xy,240xy范围是 三、解答题（本题共 3 小题，共 41 分）12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为 12，离心率为 ；54（2）顶点间的距离为 6，渐近线方程为 yx32=13.已知双曲线 ( 0， 0)的右焦点为 21xyab（b(0)Fc,（1）若双曲线的一条渐近线方程为 且 ，求双曲线的方程；yx2c（2）以原点 为圆心， 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 ，过 作圆的切线，斜率为 ，Oc A3求双曲线的离心率14.已知双曲线 的离心率 ，原点 到过点
4、的直线的距离是xyab21-=ab（0,)23e=O(,0),AaBb-3.2（1）求双曲线的方程；（2）已知直线 交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值5()ykx+一、选择题1.C 解析：由方程的图象是双曲线知，,即2.D 解析：设 与圆相切于点 ，因为 ，所以 为等腰三角形，所以 .1PFM21PF12PF 114FMP又因为在直角 中， ，所以 .O 2211ac14Mb又 ，12ac,2cb由解得 53 3.C 解析：由题意知，.当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件；当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最
5、大值，结合双曲线的对称性，可得此时有 2 条直线符合条件.综上可得，有 3 条直线符合条件.4.C 解析：设等轴双曲线 的方程为 C2xy 抛物线 ， 抛物线的准线方程为 2168yxp（ 4p4x设等轴双曲线与抛物线的准线 的两个交点为 ，x(),(4)0AyBy则 ， ()243AB|y|y23y将 ， 代入，得 ， .4x()4 等轴双曲线 的方程为 ，即 . 双曲线 的实轴长为 4C24xy21xy（C5.C 解析：双曲线 的一条渐近线方程为 ，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点19m53mx到直线 l 的距离为 .25431d6.C 解析：将双曲线化为标准方程为 则点(3,0) 为双
6、曲线的右顶点.过点(3,0)与 x 轴垂直的直线2194xy满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有 3 条.7.A 解析：方程 表示双曲线，当且仅当 ， 或 .反之，21()3xykkR(2)30k2k当 或 时，双曲线方程中分母同号，方程 表示双曲线.2k21xyR二、填空题8. 解析：双曲线 的渐近线方程为 .若直线 l 与双曲线相交，3,2 2134yx32yx则 .32k或9. 解析：设,，则 ，即，.0,2xy=将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为 ，即.241xy-=10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为 MN 为圆的直径且点 A
7、 在圆上，所以 F 为圆的圆心，且所以，即 .由 ，得bca2cace2e11. 解析：由圆 化为 ，得到圆心 ，半径 (1,240xy2()xy(20)（2r 双曲线 的渐近线 与圆 有交点，21()a,bba（24x ， 该双曲线的离心率的取值范围是 2b a 221ce（ (1,2三、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为 xyab()210,-=由题意，得 解得221,54,bca8,6.ab所以双曲线的标准方程为 213xy-=（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为210,xyab=()由题意，得 解得263ab， ,92b所以焦点在轴上的双曲线的
8、标准方程为 2184xy-=同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为 29-方法二：设以 为渐近线的双曲线的方程为32yx=2(0).4xy=当 时， ，解得 此时，所求的双曲线的标准方程为 469421984xy-=当 时， ，解得 此时，所求的双曲线的标准方程为 29-= 2-13.解：（1） 双曲线 的渐近线方程为 ，21xyab（ byxa 若双曲线的一条渐近线方程为 ，可得 ，解得 .x1 ， .2cab2ab由此可得双曲线的方程为 .21xy（2）设点 的坐标为 ，可得直线 的斜率满足 ，即 .A()m,nAO13nkmn 以点 为圆心， 为半径的圆方程为 ，Oc22xyc 将代入圆
9、方程，得 ，解得 ， .23c1n c将点 代入双曲线方程，得 .12Ac,2223ab（化简，得 .2234bab ， 将 代入上式，化简、整理，得 .2cac42430ca两边都除以 ，整理，得 ，解得 或 .442380e2e2 双曲线的离心率 ， 该双曲线的离心率 (负值舍去） .114.解：（1）因为 ，原点 到直线：的距离2caOabdc23=+（所以 故所求双曲线的方程为 ,3.b=21.3xy-（2）把 代入 中,消去，整理，得 .5ykx+2y-=2(3)078kx-设 的中点是 ，则CDC12(,), 0（ ）Ex105+=（ykxk25.13=+-所以 即 .BEkxk0=-（0,xky+2253kk又,所以,即
