1、2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 大纲全国，理 1)设集合 A1,2,3， B4,5， M x|x a b， a A， b B，则 M 中元素的个数为( )A3 B4 C5 D62(2013 大纲全国，理 2) ( )3(1+iA8 B8 C8i D8i3(2013 大纲全国，理 3)已知向量 m( 1,1)， n( 2,2)，若( m n)( m n)，则 ( )A4 B3 C2 D14(2013 大纲全国，理 4)已知函数 f(x)的定义域
2、为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为( )A(1,1) B C(1,0) D1,21,25(2013 大纲全国，理 5)函数 f(x) (x0)的反函数 f1 (x)( )21logA (x0) B (x0) C2x1(xR) D2x1(x0)12x1x6(2013 大纲全国，理 6)已知数列 an满足 3an1 an0， a2 ，则 an的前 10 项和43等于( )A6(1310) B (1310) C3(1310) 9D3(1310)7(2013 大纲全国，理 7)(1 x)8(1 y)4的展开式中 x2y2的系数是( )A56 B84 C112 D1688(2013 大纲全国，
3、理 8)椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1， A2，点 P 在 C 上且2=143直线 PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是( )A B C D13,243,841,23,149(2013 大纲全国，理 9)若函数 f(x) x2 ax 在 是增函数，则 a 的取值范,围是( )A1,0 B1，) C0,3 D3，)10(2013 大纲全国，理 10)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，则 CD 与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A B C D2332311(2013 大纲全国，理 11)已知抛物线 C： y28 x 与点 M(2,2)
4、，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于 A， B 两点若 ，则 k( )0BA B C D212212(2013 大纲全国，理 12)已知函数 f(x)cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )Ayf(x)的图像关于点(，0)中心对称 Byf(x)的图像关于直线 对称=2xCf(x)的最大值为 Df(x)既是奇函数，又是周期函数32二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 大纲全国，理 13)已知 是第三象限角，sin ，则 cot 13 _.14(2013 大纲全国，理 14)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)15(201
5、3 大纲全国，理 15)记不等式组 所表示的平面区域为 D.若直线0,34xyy a(x1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是_16(2013 大纲全国，理 16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径， OK ，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60，则球 O 的表面积32等于_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 大纲全国，理 17)(本小题满分 10 分)等差数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 S3，且 S1， S2， S4成等比数列，求 an的通项公式2a18(2013 大纲全国，理 18)(本小题满
6、分 12 分)设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，( a b c)(a b c) ac.(1)求 B；(2)若 sin Asin C ，求 C31419(2013 大纲全国，理 19)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P ABCD 中， ABC BAD90， BC2 AD， PAB 和 PAD 都是等边三角形(1)证明： PB CD；(2)求二面角 A PD C 的大小20(2013 大纲全国，理 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛
7、的结果相互独立，第 1 局甲当裁判12(1)求第 4 局甲当裁判的概率；(2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望21(2013 大纲全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知双曲线 C： (a0， b0)2=1xyb的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 3，直线 y2 与 C 的两个交点间的距离为 .6(1)求 a， b；(2)设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A， B 两点，且| AF1| BF1|，证明：|AF2|，| AB|，| BF2|成等比数列22(2013 大纲全国，理 22)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) .1ln+)x(
8、1)若 x0 时， f(x)0，求 的最小值；(2)设数列 an的通项 ，证明： a2n an ln 2.1=+23n 142013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：B解析：由题意知 x a b， a A， b B，则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元素故选 B.2答案：A解析： .故选 A.323(1+i)=i+()i=8 3答案：B解析：由( m n)( m n)| m|2| n|20( 1) 21( 2) 240 3.故选
9、 B.4 答案：B解析：由题意知12 x10，则1 x .故选 B.125答案：A解析：由题意知 2 y x (y0)，1+1因此 f1 (x) (x0)故选 A.6答案：C解析：3 an1 an0， an1 .数列 an是以 为公比的等比数列 a23n13， a14.43 S10 3(13 10 )故选 C.107答案：D解析：因为(1 x)8的展开式中 x2的系数为 ，(1 y)4的展开式中 y2的系数为 ，所以28C24Cx2y2的系数为 .故选 D.24C168 答案：B解析：设 P 点坐标为( x0， y0)，则 ，20=143xy， ，于是 .20PAykx102PAkx12 22
10、0034PAxykx故 .1234PAPA 2，1，k .故选 B.13,84PA9答案：D解析：由条件知 f( x)2 x a 0 在 上恒成立，即 在21,21ax上恒成立函数 在 上为减函数，1,2y,. a3.故选 D.max213y10 答案：A解析：如下图，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 C1O，过 C 作 CH C1O 于点 H. 1BDAC1BDAH平 面平 面CH平面 C1BD，1=HCOBD HDC 为 CD 与平面 BDC1所成的角设 AA12 AB2，则 ，2=A.21193=CO由等面积法，得 C1OCH OCCC1，即 ，2CH .2=3Hsin HDC .故
11、选 A.2=13CD11答案：D解析：由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0)，则直线 AB 的方程为 y k(x2)，将其代入y28 x，得 k2x24( k22) x4 k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x24.2由 12k12124,.ykxk ，0MAB( x12， y12)( x22， y22)0.( x12)( x22)( y12)( y22)0，即 x1x22( x1 x2)4 y1y22( y1 y2)40.由解得 k2.故选 D.12答案：C解析：由题意知 f(x)2cos 2xsin x2(1sin 2x)sin x.令 tsi
12、n x， t1,1，则 g(t)2(1 t2)t2 t2 t3.令 g( t)26 t20，得 .=t当 t1 时，函数值为 0；当 时，函数值为 ；3t439当 时，函数值为 .t g(t)max ，439即 f(x)的最大值为 .故选 C.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案： 2解析：由题意知 cos .2121sin93故 cot .cos=2in14答案：480解析：先排除甲、乙外的 4 人，方法有 种，再将甲、乙插入这 4 人形成的 5 个间隔中，4A有 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有 (种)25A4258015答案： 1,42解析：作出题中不等式组表示的可
13、行域如图中阴影部分所示直线 y a(x1)过定点 C(1,0)，由图并结合题意可知 ， kAC4，12BC要使直线 y a(x1)与平面区域 D 有公共点，则 a4.1216答案：16解析：如下图，设 MN 为两圆的公共弦， E 为 MN 的中点，则 OE MN， KE MN，结合题意可知 OEK60.又 MN R， OMN 为正三角形 OE .32R又 OK EK， OEsin 60 .32 R2. S4 R216.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：设 an的公差为 d.由 S3 得 3a2 ，故 a20 或 a23.由 S1， S2， S4成等比数列得 S1S4.2
14、又 S1 a2 d， S22 a2 d， S44 a22 d，故(2 a2 d)2( a2 d)(4a22 d)若 a20，则 d22 d2，所以 d0，此时 Sn0，不合题意；若 a23，则(6 d)2(3 d)(122 d)，解得 d0 或 d2.因此 an的通项公式为 an3 或 an2 n1.18解：(1)因为( a b c)(a b c) ac，所以 a2 c2 b2 ac.由余弦定理得 cos B ，221因此 B120.(2)由(1)知 A C60，所以 cos(A C)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos( A C)2sin Asin C ，13+24故 A C30或 A C30，因此 C15或 C45.19(1)证明：取 BC 的中点 E，连结 DE，则 ABED 为正方形过 P 作 PO平面 ABCD，垂足为 O.连结 OA， OB， OD， OE.由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知 PA PB PD，所以 OA OB OD，即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点，故 OE BD，从而 PB OE.因为 O 是 BD 的中点， E 是 BC 的中点，所以 OE CD.因此 PB CD.(2)解法一：由(1)知 CD PB， CD PO， PB PO P，
